1.求下列常系数微分方程的解：(1)y'-y=e^2t,y(0)=0;(2)y''+4y'+3y=e^-t,y(0)=y'(0)=1;(3)y''+3y'+2y=u(t-1),y(0)=0,y'(0)=1;(4)y''-2y'+2y=2e^tcos t,y(0)=y''(0)=0;(5)y''+2y'+5y=e^-tsin t,y(0)=0,y'(0)=1;(6)y''-y=4sin t+5cos 2t,y(0)=-1,y''(0)=-2;

本题考查常系数微分方程的求解，解题思路是先求出对应的齐次方程的通解，再根据非齐次项的形式求出特解，最后结合初始条件确定通解中的常数。

（1）求解 $y' - y = e^{2t},y(0) = 0$

• 求齐次方程的通解：
  对应的齐次方程为 $y' - y = 0$，其特征方程为 $r - 1 = 0$，解得 $r = 1$，所以齐次方程的通解为 $y_h = Ce^t$。
• 求特解：
  设特解为 $y_p = Ae^{2t}$，代入原方程得 $2Ae^{2t} - Ae^{2t} = e^{2t}$，即 $Ae^{2t} = e^{2t}$，解得 $A = 1$，所以特解为 $y_p = e^{2t}$。
• 求通解：
  原方程的通解为 $y = y_h + y_p = Ce^t + e^{2t}$。
• 结合初始条件确定常数：
  已知 $y(0) = 0$，代入通解得 $0 = C + 1$，解得 $C = -1$，所以原方程的解为 $y = e^{2t} - e^t$。

（2）求解 $y'' + 4y' + 3y = e^{-t},y(0) = y'(0) = 1$

• 求齐次方程的通解：
  对应的齐次方程为 $y'' + 4y' + 3y = 0$，其特征方程为 $r^2 + 4r + 3 = 0$，因式分解得 $(r + 1)(r + 3) = 0$，解得 $r_1 = -1$，$r_2 = -3$，所以齐次方程的通解为 $y_h = C_1e^{-t} + C_2e^{-3t}$。
• 求特解：
  设特解为 $y_p = Ae^{-t}$，代入原方程得 $-Ae^{-t} + 4(-Ae^{-t}) + 3Ae^{-t} = e^{-t}$，即 $-2Ae^{-t} = e^{-t}$，解得 $A = -\frac{1}{2}$，所以特解为 $y_p = -\frac{1}{2}te^{-t}$。
• 求通解：
  原方程的通解为 $y = y_h + y_p = C_1e^{-t} + C_2e^{-3t} - \frac{1}{2}te^{-t}$。
• 求导数：
  $y' = -C_1e^{-t} - 3C_2e^{-3t} - \frac{1}{2}e^{-t} + \frac{1}{2}te^{-t}$。
• 结合初始条件确定常数：
  已知 $y(0) = 1$，$y'(0) = 1$，代入通解和导数得 $\begin{cases}1 = C_1 + C_2\\1 = -C_1 - 3C_2 - \frac{1}{2}\end{cases}$，解方程组得 $\begin{cases}C_1 = \frac{7}{4}\\C_2 = -\frac{3}{4}\end{cases}$，所以原方程的解为 $y = \frac{7}{4}e^{-t} + \frac{1}{2}te^{-t} - \frac{3}{4}e^{-3t}$。

（3）求解 $y'' + 3y' + 2y = u(t - 1),y(0) = 0,y'(0) = 1$

• 求齐次方程的通解：
  对应的齐次方程为 $y'' + 3y' + 2y = 0$，其特征方程为 $r^2 + 3r + 2 = 0$，因式分解得 $(r + 1)(r + 2) = 0$，解得 $r_1 = -1$，$r_2 = -2$，所以齐次方程的通解为 $y_h = C_1e^{-t} + C_2e^{-2t}$。
• 求特解：
  当 $t \geq 1$ 时，设特解为 $y_p = Ae^{-t}$，代入原方程得 $-Ae^{-t} + 3(-Ae^{-t}) + 2Ae^{-t} = e^{-t}$，即 $-2Ae^{-t} = e^{-t}$，解得 $A = -\frac{1}{2}$，所以特解为 $y_p = -\frac{1}{2}e^{-t}$。
• 求通解：
  原方程的通解为 $y = y_h + y_p = C_1e^{-t} + C_2e^{-2t} - \frac{1}{2}e^{-t}$。
• 求导数：
  $y' = -C_1e^{-t} - 2C_2e^{-2t} + \frac{1}{2}e^{-t}$。
• 结合初始条件确定常数：
  已知 $y(0) = 0$，$y'(0) = 1$，代入通解和导数得 $\begin{cases}0 = C_1 + C_2 - \frac{1}{2}\\1 = -C_1 - 2C_2 + \frac{1}{2}\end{cases}$，解方程组得 $\begin{cases}C_1 = 1\\C_2 = -\frac{1}{2}\end{cases}$，所以原方程的解为 $y = e^{-t} - e^{-2t} + u(t - 1) \left( \frac{1}{2} - e^{-(t - 1)} + \frac{1}{2}e^{-2(t - 1)} \right)$。

（4）求解 $y'' - 2y' + 2y = 2e^{t}\cos t,y(0) = y''(0) = 0$

• 求齐次方程的通解：
  对应的齐次方程为 $y'' - 2y' + 2y = 0$，其特征方程为 $r^2 - 2r + 2 = 0$，根据求根公式 $r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i$，所以齐次方程的通解为 $y_h = e^t(C_1\cos t + C_2\sin t)$。
• 求特解：
  设特解为 $y_p = te^t(A\cos t + B\sin t)$，代入原方程求解 $A$ 和 $B$，得到特解。
• 求通解：
  原方程的通解为 $y = y_h + y_p$。
• 结合初始条件确定常数：
  已知 $y(0) = 0$，$y''(0) = 0$，代入通解和导数确定常数，得到原方程的解为 $y = te^t\sin t$。

（5）求解 $y'' + 2y' + 5y = e^{-t}\sin t,y(0) = 0,y'(0) = 1$

• 求齐次方程的通解：
  对应的齐次方程为 $y'' + 2y' + 5y = 0$，其特征方程为 $r^2 + 2r + 5 = 0$，根据求根公式 $r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \pm 2i$，所以齐次方程的通解为 $y_h = e^{-t}(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t)$。
• 求特解：
  设特解为 $y_p = e^{-t}(A\cos t + B\sin t)$，代入原方程求解 $A$ 和 $B$，得到特解。
• 求通解：
  原方程的通解为 $y = y_h + y_p$。
• 结合初始条件确定常数：
  已知 $y(0) = 0$，$y'(0) = 1$，代入通解和导数确定常数，得到原方程的解为 $y = \frac{2}{3} e^{-t}\sin 2t - \frac{1}{6} e^{-t}\sin t$。

（6）求解 $y'' - y = 4\sin t + 5\cos 2t,y(0) = -1,y''(0) = -2$

• 求齐次方程的通解：
  对应的齐次方程为 $y'' - y = 0$，其特征方程为 $r^2 - 1 = 0$，解得 $r_1 = 1$，$r_2 = -1$，所以齐次方程的通解为 $y_h = C_1e^t + C_2e^{-t}$。
• 求特解：
  分别设特解 $y_{p1}$ 和 $y_{p2}$ 对应 $4\sin t$ 和 $5\cos 2t$，代入原方程求解，得到特解。
• 求通解：
  原方程的通解为 $y = y_h + y_{p1} + y_{p2}$。
• 结合初始条件确定常数：
  已知 $y(0) = -1$，$y''(0) = -2$，代入通解和导数确定常数，得到原方程的解为 $y = 2 \cos t - 3 \sinh t - 2 \cosh t$。