在R[x]4中定义内积为 (f,g)=(int )_(-1)^1f(x)g(x)dx. 求R[x]4-|||-的一组标准正交基(由基1,x,x^2,x^3出发作正交化).

考查要点：本题要求利用格拉姆-施密特正交化过程，从给定的基底出发，构造R[x]₄的一组标准正交基。核心在于理解内积定义、正交化步骤及单位化方法。

解题思路：

1. 格拉姆-施密特正交化：依次对每个基向量进行正交化，减去其在已正交向量上的投影。
2. 单位化：对每个正交向量计算模长，归一化为单位向量。
3. 对称区间积分性质：利用奇偶函数在对称区间积分的特性简化计算。

关键点：

• 正交化顺序：严格按照基底顺序处理，确保每一步仅依赖前一步结果。
• 投影计算：正确计算内积，注意奇偶函数的积分结果。
• 化简技巧：合理化简表达式，确保最终形式与标准正交基形式一致。

第1步：构造第一个正交向量

• 初始向量：$v_1 = 1$。
• 单位化：
  $(v_1, v_1) = \int_{-1}^1 1^2 dx = 2 \implies \phi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

第2步：构造第二个正交向量

• 原始向量：$e_2 = x$。
• 投影计算：
  $(e_2, v_1) = \int_{-1}^1 x \cdot 1 dx = 0 \implies v_2 = x.$
• 单位化：
  $(v_2, v_2) = \int_{-1}^1 x^2 dx = \frac{2}{3} \implies \phi_2 = \sqrt{\frac{3}{2}} x = \frac{\sqrt{6}}{2}x.$

第3步：构造第三个正交向量

• 原始向量：$e_3 = x^2$。
• 投影计算：
  $(e_3, v_1) = \int_{-1}^1 x^2 dx = \frac{2}{3} \implies \text{proj}_{v_1}(e_3) = \frac{1}{3}.$
  $(e_3, v_2) = \int_{-1}^1 x^3 dx = 0 \implies v_3 = x^2 - \frac{1}{3}.$
• 单位化：
  $(v_3, v_3) = \frac{8}{45} \implies \phi_3 = \frac{\sqrt{10}}{4}(3x^2 - 1).$

第4步：构造第四个正交向量

• 原始向量：$e_4 = x^3$。
• 投影计算：
  $(e_4, v_1) = 0, \quad (e_4, v_2) = \frac{2}{5} \implies \text{proj}_{v_2}(e_4) = \frac{3}{5}x.$
  $(e_4, v_3) = 0 \implies v_4 = x^3 - \frac{3}{5}x.$
• 单位化：
  $(v_4, v_4) = \frac{8}{175} \implies \phi_4 = \frac{\sqrt{14}}{4}(5x^3 - 3x).$