2.(单选题，10分) 一枚硬币连续掷8次，正反面出现的次数分别记为X，Y，则一元二次方程t²+Xt+Y=0有重根的概率为( ).A. (5)/(16)B. (11)/(32)C. (21)/(64)D. (35)/(128)

考查要点：本题综合考查概率论中二项分布的应用，以及一元二次方程根的判别式条件。关键在于将方程有重根的条件转化为随机变量的关系，再结合二项分布计算概率。

解题核心思路：

1. 判别式条件：方程 $t^2 + Xt + Y = 0$ 有重根的充要条件是判别式 $\Delta = X^2 - 4Y = 0$，即 $X^2 = 4Y$。
2. 变量关系：由于掷硬币总次数为 $8$，故 $X + Y = 8$，可将 $Y$ 用 $X$ 表示为 $Y = 8 - X$。
3. 求解方程：联立 $X^2 = 4(8 - X)$，解得 $X = 4$，对应 $Y = 4$。
4. 概率计算：计算在 $8$ 次独立试验中恰好出现 $4$ 次正面的概率，利用二项分布公式。

破题关键点：

• 正确转化方程条件：将方程有重根的条件转化为 $X$ 和 $Y$ 的关系。
• 唯一解的验证：通过代入检验，确认只有 $X = 4$ 时满足条件。
• 二项分布的应用：计算特定次数的组合概率。

步骤1：确定方程有重根的条件

一元二次方程 $t^2 + Xt + Y = 0$ 有重根的条件是判别式 $\Delta = X^2 - 4Y = 0$，即：
$X^2 = 4Y.$

步骤2：结合掷硬币总次数约束

由于掷硬币总次数为 $8$，有：
$X + Y = 8 \quad \Rightarrow \quad Y = 8 - X.$
将 $Y$ 代入判别式条件：
$X^2 = 4(8 - X).$

步骤3：解方程求 $X$ 的可能值

整理方程：
$X^2 + 4X - 32 = 0.$
用求根公式解得：
$X = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} = \frac{-4 \pm 12}{2}.$
取非负整数解：
$X = 4 \quad (\text{舍去负解} \ X = -8).$
对应 $Y = 8 - 4 = 4$。

步骤4：计算概率

在 $8$ 次独立试验中恰好出现 $4$ 次正面的概率为二项分布：
$P(X = 4) = \binom{8}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{1}{2}\right)^{8-4} = \frac{70}{256} = \frac{35}{128}.$