题目

设f（x）、g（x）是恒大于零的可导函数，且f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（　　）A. f（x）g（b）＞f（b）g（x）B. f（x）g（a）＞f（a）g（x）C. f（x）g（x）＞f（b）g（b）D. f（x）g（x）＞f（a）g（a）

设f（x）、g（x）是恒大于零的可导函数，且f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（　　）
A. f（x）g（b）＞f（b）g（x）
B. f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C. f（x）g（x）＞f（b）g（b）
D. f（x）g（x）＞f（a）g（a）

题目解答

答案

由已知条件：f'（x）g（x）-f（x）g'（x）＜0，类似于除法求导的分子，因此，构建函数：
h（x）=
f(x)
g(x)
；
h'（x）=[
f(x)
g(x)
]'=
f′(x)g(x)−f(x)g′(x)
g2(x)
＜0；
因此：h（x）在（a，b）内单调递减；
因此：当a＜x＜b时：h（b）＜h（x）＜h（a）；
即：
f(b)
g(b)
＜
f(x)
g(x)
＜
f(a)
g(a)
；
有f（x），g（x）恒大于0；
所以：f（x）g（a）＜f（a）g（x）；
f（b）g（x）＜f（x）g（b）．
可见A选项为正确选项．
故本题选：A．

解析

考查要点：本题主要考查导数的运算性质及函数单调性的应用，需要学生通过构造函数，分析其单调性来比较函数值的大小关系。

解题核心思路：

  1. 构造函数：将题目中的条件与导数的商法则联系起来，构造函数 $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$。
  2. 分析单调性：通过计算 $h'(x)$，结合已知条件 $f'(x)g(x) - f(x)g'(x) < 0$，得出 $h(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内单调递减。
  3. 比较函数值：利用单调性得出 $h(a) > h(x) > h(b)$，进而推导出各选项中不等式的关系。

破题关键点：

  • 识别导数形式：将条件与商法则的导数形式对应，快速构造合适的函数。
  • 单调性与不等式转化：通过单调性比较不同点的函数值，并结合正数乘积保持不等式方向。

构造函数与分析单调性

  1. 构造函数：定义 $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$，其中 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均恒大于零。
  2. 求导数：
    $h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}.$
    由已知条件 $f'(x)g(x) - f(x)g'(x) < 0$，且分母 $[g(x)]^2 > 0$，可得 $h'(x) < 0$。
  3. 单调性结论：$h(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内单调递减。

比较函数值

  • 单调递减性质：对任意 $a < x < b$，有
    $h(a) > h(x) > h(b),$
    即
    $\frac{f(a)}{g(a)} > \frac{f(x)}{g(x)} > \frac{f(b)}{g(b)}.$

选项分析

  • 选项A：由 $\frac{f(x)}{g(x)} > \frac{f(b)}{g(b)}$，两边同乘正数 $g(x)g(b)$，得
    $f(x)g(b) > f(b)g(x),$
    即选项A成立。
  • 选项B：由 $\frac{f(a)}{g(a)} > \frac{f(x)}{g(x)}$，同理得
    $f(a)g(x) > f(x)g(a),$
    与选项B矛盾。
  • 选项C、D：涉及乘积 $f(x)g(x)$，但构造的函数 $h(x)$ 是比值形式，无法直接推导乘积的单调性，故无法确定。