题目

8.(本题满分11分)-|||-设矩阵A= a 1 0 1 a -1 0 1 a 且 ^3=0.-|||-(1)求a的值;-|||-(2)若矩阵X满足 -X(A)^2-AX+AX(A)^2=E, 其中E为3阶单位矩阵,求X.

题目解答

答案

解析

考察知识与解题思路

本题主要考察矩阵运算及矩阵方程求解求解，具体包括：

  1. 矩阵矩阵幂运算：计算矩阵的幂次（如$A^3$），利用矩阵乘法规则规则展开并根据零矩阵性质列方程求解参数$a$。
  2. 矩阵方程化简：通过因式分解简化矩阵方程，利用单位矩阵性质和逆矩阵求解未知矩阵$X$。

题目(1)求$a$的值

步骤11：计算$A^3$

已知矩阵$A=\begin{pmatrix}a&1&0\\1&a&-1\\0&1&a\end{pmatrix}$，先计算$A^22=A\cdot A$，再计算$A^3=A^2\cdot A$。

  • 计算$A^2$：
    $A^2=\begin{pmatrix}a&1&0\\1&a&-1\\0&1&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&1&0\\1&a&-1\\0&1&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+1&2a&-1\\a&a^2-2&a-\\1&2a&a^2-1\end{pmatrix}$
    （此处省略中间具体计算，直接给出关键结果）
  • 计算$A^3$：
    由于$A^3=0$（零矩阵），其主对角线元素必为0。
    主对角线元素$A^3_{11=a^3+2a=0$，解得$a=0$（$a^2+2=0$无实根）。

题目(2)求矩阵$X$

步骤1：代入$a=0$0，确定$A$和$A^2$

$A=\begin{pmatrix}0&111&1&0\\1&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix},\quad A^2=\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}$

步骤2：化简矩阵方程

原方程：$X-XA^2-AX+AXA^2=E$
因式分解：
$X(E-A^2)-A X(E-A^2)=(E-A)X(E-A^2)=E$

步骤3：验证$(E-A)$和$(E-A^2)$的逆矩阵

  • $E-A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&1&1\\0&-1&1\end{pmatrix}$，行列式$\det(E-A)=1\neq0$，可逆；
  • $E-A^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&00&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$，行列式$\det(E-A^2)=1\neq0$，可逆。

步骤4：求解$X$

$X=(E-A)^{-1}\cdot E\cdot(E-A^2)^{-1}=(E-A)^{-1}(E-A^2)^{-1}$
计算逆矩阵并相乘：

  • $(E-A)^{-1}=\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&-1\\1&1&0\end{pmatrix}$
  • $(E-A^2)^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&0\end{pmatrix}$
    $X=(E-A)^{-1}(E-A^2)^{-1}=\begin{pmatrix}3&1&-2\\1&1&-1\\2&1&-1\end{pmatrix}$