7.证明:函数 =dfrac (1)(x)sin dfrac (1)(x) 在区间(0,1]内无界,但这函数不是x→0^+时的无穷大.

考查要点：本题主要考查函数在区间内的无界性以及变量趋于某点时的无穷大概念。需要明确区分无界性与无穷大的定义差异。

解题核心思路：

1. 无界性：证明函数在区间内无界，需找到一系列点，使函数值可任意大。
2. 非无穷大：即使函数在某些点趋于无穷大，但若存在另一系列点使函数值不趋于无穷大，则函数在该极限过程中不是无穷大。

破题关键点：

• 构造特定点列：通过调整$\sin(1/x)$的取值为1或0，分别对应函数值的最大和最小情况。
• 利用周期性：$\sin(1/x)$的周期性导致函数值在$x \to 0^+$时振荡，从而产生不同趋势。

证明函数在区间$(0,1]$内无界

步骤1：根据无界性定义
任取$M > 0$，需找到$x_0 \in (0,1]$，使得$f(x_0) > M$。

步骤2：构造特定点列
取$x_k = \dfrac{1}{2k\pi + \dfrac{\pi}{2}}$（$k \in \mathbb{N}$），此时：
$\sin\left(\dfrac{1}{x_k}\right) = \sin\left(2k\pi + \dfrac{\pi}{2}\right) = 1.$

步骤3：计算函数值
$f(x_k) = \dfrac{1}{x_k} \cdot 1 = 2k\pi + \dfrac{\pi}{2}.$
当$k$足够大时，$2k\pi + \dfrac{\pi}{2} > M$，故$f(x_k) > M$，说明函数在$(0,1]$内无界。

证明函数不是$x \to 0^+$时的无穷大

步骤1：根据无穷大定义
需存在$M > 0$，对任意$s > 0$，存在$x_0 \in (0, s)$，使得$f(x_0) < M$。

步骤2：构造另一点列
取$x_k = \dfrac{1}{2k\pi}$（$k \in \mathbb{N}_+$），此时：
$\sin\left(\dfrac{1}{x_k}\right) = \sin(2k\pi) = 0.$

步骤3：计算函数值
$f(x_k) = \dfrac{1}{x_k} \cdot 0 = 0.$
无论$M$多大，总存在$x_k$满足$0 < x_k < s$且$f(x_k) = 0 < M$，故函数不是$x \to 0^+$时的无穷大。