例3.12 设向量组a1,α2,α3线性相关,a2,α3,a4线性无关,-|||-证明(1)α1能由α2,α3线性表示;(2)α 4不能由α1,α2,α 3线性表-|||-示.

考查要点：本题主要考查向量组的线性相关性、线性表示的条件及反证法的应用。

解题核心思路：

1. 第（1）问：利用向量组线性无关的性质，结合已知条件推导出α1可被α2、α3线性表示。
2. 第（2）问：通过反证法，假设α4可被α1、α2、α3表示，结合第（1）问的结论，导出与已知条件矛盾的结果。

破题关键点：

• 线性无关组的性质：若向量组中部分向量线性无关，则整体向量组中添加更多向量后仍可能保持线性无关。
• 定理3.12的应用：若一个向量组中存在线性无关的部分组，则其余向量可被该部分组线性表示。
• 反证法逻辑：通过假设结论不成立，推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题成立。

第（1）题

关键步骤：

1. 分析已知条件：

   • 向量组α2, α3, α4线性无关 ⇒ α2, α3线性无关。
   • 向量组α1, α2, α3线性相关 ⇒ 存在不全为零的系数k1, k2, k3，使得k1α1 + k2α2 + k3α3 = 0。

2. 推导α1的线性表示：

   • 由于α2, α3线性无关，k2和k3不能同时为零。
   • 若k1 ≠ 0，则可解出α1 = (-k2/k1)α2 + (-k3/k1)α3，即α1可由α2, α3线性表示。
   • 若k1 = 0，则k2α2 + k3α3 = 0，但α2, α3线性无关 ⇒ k2 = k3 = 0，与线性相关矛盾，故k1 ≠ 0。

结论：α1能由α2, α3线性表示。

第（2）题

关键步骤：

1. 反证法假设：假设α4可由α1, α2, α3线性表示，即存在系数k1, k2, k3，使得α4 = k1α1 + k2α2 + k3α3。
2. 结合第（1）问结论：由（1）知α1可表示为α1 = c1α2 + c3α3。
3. 代入表达式：
   • 将α1代入α4的表达式，得：
     $\alpha_4 = k_1(c_1\alpha_2 + c_3\alpha_3) + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = (k_1c_1 + k_2)\alpha_2 + (k_1c_3 + k_3)\alpha_3$
   • 这表明α4可由α2, α3线性表示。
4. 矛盾分析：与已知条件“α2, α3, α4线性无关”矛盾，故假设不成立。

结论：α4不能由α1, α2, α3线性表示。