题目

设随机变量X,Y相互独立且具有相同分布，若PX=0=PY=0=(1)/(3),PX=1=PY=1=(2)/(3),则有（）.A PX+Y=1=(4)/(9)B PXY=1=(1)/(9)C PX=Y=1D PX=Y=(1)/(3)

设随机变量X,Y相互独立且具有相同分布，若$P\{X=0\}=P\{Y=0\}=\frac{1}{3}$,$P\{X=1\}=P\{Y=1\}=\frac{2}{3}$,则有（）. A $P\{X+Y=1\}=\frac{4}{9}$ B $P\{XY=1\}=\frac{1}{9}$ C $P\{X=Y\}=1$ D $P\{X=Y\}=\frac{1}{3}$

题目解答

答案

根据题目给出的条件，随机变量 $X, Y$ 相互独立且具有相同的分布。已知概率分布为：
$P\{X=0\} = P\{Y=0\} = \frac{1}{3}$
$P\{X=1\} = P\{Y=1\} = \frac{2}{3}$

由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，它们的联合概率等于各自边缘概率的乘积，即 $P\{X=x, Y=y\} = P\{X=x\} \cdot P\{Y=y\}$。

我们逐一分析各个选项：

选项 A: $P\{X+Y=1\} = \frac{4}{9}$
事件 $\{X+Y=1\}$ 包含两种互斥的情况：

  1. $X=0$ 且 $Y=1$
  2. $X=1$ 且 $Y=0$

计算这两种情况的概率：
$P\{X=0, Y=1\} = P\{X=0\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$
$P\{X=1, Y=0\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=0\} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$

将两者相加得到：
$P\{X+Y=1\} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$
这与选项 A 的内容一致。

选项 B: $P\{XY=1\} = \frac{1}{9}$
事件 $\{XY=1\}$ 发生当且仅当 $X=1$ 且 $Y=1$。
计算该概率：
$P\{XY=1\} = P\{X=1, Y=1\} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=1\} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$
选项 B 给出的概率是 $\frac{1}{9}$，因此不正确。

选项 C: $P\{X=Y\} = 1$
事件 $\{X=Y\}$ 包含两种互斥的情况：

  1. $X=0$ 且 $Y=0$
  2. $X=1$ 且 $Y=1$

计算概率：
$P\{X=Y\} = P\{X=0, Y=0\} + P\{X=1, Y=1\}$
$P\{X=0, Y=0\} = P\{X=0\} \cdot P\{Y=0\} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
$P\{X=1, Y=1\} = \frac{4}{9}$ （已在选项 B 中计算）
$P\{X=Y\} = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$
选项 C 给出的概率是 $1$，因此不正确。

选项 D: $P\{X=Y\} = \frac{1}{3}$
根据选项 C 的计算结果，$P\{X=Y\} = \frac{5}{9}$，不等于 $\frac{1}{3}$，因此不正确。

综上所述，只有选项 A 的计算结果是正确的。

正确答案是 A。

解析

本题考查相互独立随机变量的概率计算。解题思路是根据随机变量$X$、$Y$相互独立的性质，即$P\{X = x, Y = y\} = P\{X = x\} \cdot P\{Y = y\}$，分别对每个选项所涉及的事件进行分析，通过计算事件发生的概率来判断选项的正确性。

选项A

事件$\{X + Y = 1\}$包含两种互斥的情况：$X = 0$且$Y = 1$；$X = 1$且$Y = 0$。

  • 计算$P\{X = 0, Y = 1\}$：
    根据独立事件概率公式$P\{X = 0, Y = 1\} = P\{X = 0\} \cdot P\{Y = 1\}$，已知$P\{X = 0\} = \frac{1}{3}$，$P\{Y = 1\} = \frac{2}{3}$，则$P\{X = 0, Y = 1\} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$。
  • 计算$P\{X = 1, Y = 0\}$：
    同理，$P\{X = 1, Y = 0\} = P\{X = 1\} \cdot P\{Y = 0\}$，已知$P\{X = 1\} = \frac{2}{3}$，$P\{Y = 0\} = \frac{1}{3}$，则$P\{X = 1, Y = 0\} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$。
  • 计算$P\{X + Y = 1\}$：
    因为这两种情况互斥，所以$P\{X + Y = 1\} = P\{X = 0, Y = 1\} + P\{X = 1, Y = 0\} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$，该选项正确。

选项B

事件$\{XY = 1\}$发生当且仅当$X = 1$且$Y = 1$。
计算$P\{XY = 1\}$，即$P\{X = 1, Y = 1\} = P\{X = 1\} \cdot P\{Y = 1\}$，已知$P\{X = 1\} = \frac{2}{3}$，$P\{Y = 1\} = \frac{2}{3}$，则$P\{XY = 1\} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}\neq\frac{1}{9}$，该选项错误。

选项C

事件$\{X = Y\}$包含两种互斥的情况：$X = 0$且$Y = 0$；$X = 1$且$Y = 1$。

  • 计算$P\{X = 0, Y = 0\}$：
    $P\{X = 0, Y = 0\} = P\{X = 0\} \cdot P\{Y = 0\}$，已知$P\{X = 0\} = \frac{1}{3}$，$P\{Y = 0\} = \frac{1}{3}$，则$P\{X = 0, Y = 0\} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。
  • 计算$P\{X = 1, Y = 1\}$：
    前面已算得$P\{X = 1, Y = 1\} = \frac{4}{9}$。
  • 计算$P\{X = Y\}$：
    因为这两种情况互斥，所以$P\{X = Y\} = P\{X = 0, Y = 0\} + P\{X = 1, Y = 1\} = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\neq1$，该选项错误。

选项D

由选项C可知$P\{X = Y\} = \frac{5}{9}\neq\frac{1}{3}$，该选项错误。