题目

设方阵A=(}-1&0&20&1&22&2&0)问A能否对角化?若能对角化，求出可逆矩阵P使得 P^-1AP 为对角阵。

设方阵 $A=\left(\begin{matrix}-1&0&2\\0&1&2\\2&2&0\end{matrix}\right)$ 问A能否对角化?若能对角化，求出可逆矩阵P使得 $P^{-1}AP$ 为对角阵。

题目解答

答案

求得特征值为 $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = 3$, $\lambda_3 = -3$，对应特征向量分别为： \[ \alpha_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \alpha_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \] 由于有三个线性无关的特征向量，矩阵可对角化。构造可逆矩阵 $P$： \[ P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \] 则对角阵 $P^{-1}AP$ 为： \[ \boxed{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}} \]

解析

矩阵对角化的条件是其特征值的几何重数之和等于矩阵的阶数。对于本题中的3阶矩阵$A$，需验证以下两点：

  1. 特征值是否为单根：若所有特征值均为单根，则每个特征值对应一个线性无关的特征向量，总共有3个特征向量。
  2. 特征向量是否线性无关：将特征向量作为列向量构成矩阵$P$，若$P$可逆，则矩阵可对角化。

解题核心思路：

  1. 求特征值：解特征方程$|A-\lambda I|=0$。
  2. 求特征向量：对每个特征值，解齐次方程$(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$的基础解系。
  3. 验证线性无关性：若存在3个线性无关的特征向量，则矩阵可对角化，否则不能。

1. 求特征值

计算特征多项式：
$|A-\lambda I| = \begin{vmatrix}-1-\lambda & 0 & 2 \\0 & 1-\lambda & 2 \\2 & 2 & -\lambda\end{vmatrix}$
展开行列式得：
$(-1-\lambda)[(1-\lambda)(-\lambda) - 4] - 0 + 2[0 - 2(1-\lambda)] = -\lambda(\lambda^2 - 3\lambda - 6)$
解得特征值：
$\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = 3, \quad \lambda_3 = -3$

2. 求特征向量

$\lambda_1 = 0$

解方程$(A-0I)\mathbf{x}=A\mathbf{x}=0$，得基础解系：
$\alpha_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = 3$

解方程$(A-3I)\mathbf{x}=0$，得基础解系：
$\alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\lambda_3 = -3$

解方程$(A+3I)\mathbf{x}=0$，得基础解系：
$\alpha_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

3. 验证线性无关性

将$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$作为列向量构成矩阵$P$：
$P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$
计算行列式$|P| \neq 0$，说明$P$可逆，因此矩阵$A$可对角化。