1.求下列向量组的秩,并求一个极大无关组:-|||-(1) _(1)=([ 1,3,2] )^T _(2)=([ -2,-1,1] )^T, _(3)=([ 3,5,2] )^T;-|||-(2) _(1)=([ 1,0,2,1] )^T, _(2)=([ 1,2,0,1] )^T _(3)=([ 2,1,3,2] )^T , _(4)=([ 2,5,-1,4] )^T.

题目考察知识

向量组的秩与极大无关组的求解，核心方法是通过矩阵的初等行变换将向量组构成的矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的非零行个数即为向量组的秩，非零行首非零元对应的列向量即为一个极大无关组。

（1）向量组$a_1=[1,3,2]^T,a_2=[-2,-1,1]^T,a_3=[3,5,2]^T$的求解

步骤1：构造矩阵并作初等行变换

将向量组按列排列构成矩阵$A=(a_1,a_2,a_3)$，进行初等行变换：
$A=\begin{pmatrix}1&-2&3\\3&-1&5\\2&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-3r_1}\begin{pmatrix}1&-2&3\\0&5&-4\\2&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-2r_1}\begin{pmatrix}1&-2&3\\0&5&-4\\0&5&-4\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_2}\begin{pmatrix}1&-2&3\\0&5&-4\\0&0&0\end{pmatrix}$

步骤2：分析行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵有2个非零行，故向量组的秩$R(A)=2$。
首非零元在第1、2列（对应$a_1,a_2$），且$a_3$可由$a_1,a_2$线性表示（$a_3=\frac{7}{5}a_1+\frac{1}{5}a_2$），因此$a_1,a_2$是极大无关组。同理，$a_1,a_3$或$a_2,a_3$也满足极大无关组条件。

（2）向量组$a_1=[1,0,2,1]^T,a_2=[1,2,0,1]^T,a_3=[2,1,3,2]^T,a_4=[2,5,-1,4]^T$的求解

步骤1：构造矩阵并作初等行变换

将向量组按列排列构成矩阵$B=(a_1,a_2,a_3,a_4)$，进行初等行变换：
$B=\begin{pmatrix}1&1&2&2\\0&2&1&5\\2&0&3&-1\\1&1&2&4\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-2r_1}\begin{pmatrix}1&1&2&2\\0&2&1&5\\0&-2&-1&-5\\0&0&0&2\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3+r_2}\begin{pmatrix}1&1&2&2\\0&2&1&5\\0&0&0&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3\leftrightarrow r_4}\begin{pmatrix}1&1&2&2\\0&2&1&5\\0&0&0&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}$

步骤2：分析行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵有3个非零行，故向量组的秩$R(B)=3$。
首非零元在第1、2、4列（对应$a_1,a_2,a_4$），且$a_3=a_1+a_2$可由$a_1,a_2,a_4$线性表示，因此$a_1,a_2,a_4$是极大无关组。同理，$a_1,a_3,a_4$也满足条件。