8.设A, B 是n 阶矩阵，记r(X ) 为矩阵X 的秩， (X , Y) 表示分块矩阵，则()(A) r(A, AB) = r(A) (B) r(A, BA) = r(A)(C) r(A, B) = max(r(A), r(B)) (D) r(A, B) = r(AT , BT )

考查要点：本题主要考查矩阵秩的性质，特别是分块矩阵的秩与原矩阵秩之间的关系，涉及矩阵乘法对列空间的影响以及秩的保序性。

解题核心思路：

1. 矩阵分块拼接的秩：分块矩阵$(A, AB)$的列空间由$A$和$AB$的列向量组成，但$AB$的列是$A$列的线性组合，因此整体列空间与$A$的列空间一致，秩不变。
2. 矩阵乘法的秩性质：$r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$，但分块矩阵的秩需结合拼接后的列空间维度分析。
3. 排除法验证其他选项：通过构造反例或分析列空间的独立性，判断其他选项是否成立。

破题关键点：

• 选项(A)：利用$AB$的列属于$A$的列空间，直接推出$r(A, AB) = r(A)$。
• 选项(B)-(D)：通过反例或秩的性质推翻其普遍性。

选项(A)分析

将矩阵$A$和$AB$按列分块拼接为$(A, AB)$。

1. 列空间关系：$AB$的每一列是$A$列向量的线性组合，因此$AB$的列空间包含在$A$的列空间中。
2. 秩的等价性：拼接后的矩阵$(A, AB)$的列空间与$A$的列空间相同，故$r(A, AB) = r(A)$。

选项(B)分析

将矩阵$A$和$BA$拼接为$(A, BA)$。

1. 列空间独立性：$BA$的列是$B$作用于$A$的行向量，可能引入新的列向量，导致拼接后的列空间维度增加。
2. 反例验证：若$A$可逆，则$BA$的列空间与$A$无关，此时$r(A, BA) = r(A) + r(BA) > r(A)$，故选项(B)不成立。

选项(C)分析

将矩阵$A$和$B$拼接为$(A, B)$。

1. 列空间叠加：拼接后的列空间是$A$和$B$列空间的并集，秩为两列空间维度之和减去交集维度。
2. 反例验证：若$A$和$B$的列空间有交集，则$r(A, B) < r(A) + r(B)$，但未必等于$\max\{r(A), r(B)\}$，故选项(C)不成立。

选项(D)分析

比较$(A, B)$与$(A^T, B^T)$的秩。

1. 转置性质：分块矩阵$(A, B)$的秩等于其转置$(A^T, B^T)^T$的秩，但$(A^T, B^T)$是纵向拼接，秩可能不同。
2. 反例验证：若$A$和$B$的行空间独立，则$r(A^T, B^T) = r(A^T) + r(B^T) > r(A)$，而$r(A, B)$可能小于该值，故选项(D)不成立。