5.(1)若 ^3-(A)^2+2A-E=0, 证明A可逆,并求 A^(-1);-|||-(2)若 ^2-A-4E=0, 证明 A+E 可逆,并求 ((A+E))^-1.

考查要点：本题主要考查矩阵的可逆性证明及逆矩阵的求解方法，需要灵活运用矩阵方程的变形技巧，将高次多项式分解为矩阵乘积的形式，从而找到逆矩阵。

解题核心思路：

1. 构造乘积等于单位矩阵：通过给定的矩阵方程，将方程变形为某个矩阵与目标矩阵（如A或A+E）的乘积等于单位矩阵，从而直接得出逆矩阵。
2. 行列式非零验证：利用行列式的乘积性质，证明目标矩阵的行列式不为零，从而确认其可逆性。

破题关键点：

• 因式分解：将高次多项式分解为矩阵乘积形式，例如将多项式写成A乘以另一个矩阵，或构造(A+E)与另一矩阵的乘积。
• 系数调整：在分解后可能需要调整系数，使得乘积结果为单位矩阵。

第（1）题

已知方程：$A^3 - A^2 + 2A - E = 0$

步骤1：提取公因子A

将方程变形为：
$A(A^2 - A + 2E) = E$
此时，左边为$A$与矩阵$(A^2 - A + 2E)$的乘积，右边为单位矩阵$E$。

步骤2：证明A可逆

根据行列式的性质，两边取行列式：
$|A| \cdot |A^2 - A + 2E| = |E| = 1$
由于乘积结果为1（非零），说明$|A| \neq 0$，因此A可逆。

步骤3：确定逆矩阵

由$A(A^2 - A + 2E) = E$，直接可得：
$A^{-1} = A^2 - A + 2E$

第（2）题

已知方程：$A^2 - A - 4E = 0$

步骤1：调整方程形式

将方程改写为：
$A^2 - A - 2E = 2E$

步骤2：因式分解

左边可分解为：
$(A + E)(A - 2E) = 2E$

步骤3：构造逆矩阵

两边同时除以2：
$(A + E)\left(\frac{A - 2E}{2}\right) = E$
因此，$(A + E)$的逆矩阵为：
$(A + E)^{-1} = \frac{1}{2}(A - 2E) = \frac{1}{2}A - E$

步骤4：验证可逆性

取行列式：
$|A + E| \cdot \left|\frac{A - 2E}{2}\right| = |E| = 1 \neq 0$
说明$|A + E| \neq 0$，故A+E可逆。