题目

26.(本题12分)设平面图形由曲线 =(e)^y, =(e)^-y 及直线 y=2 所围成,求-|||-(1)该图形的面积A;-|||-(2)该图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积Vp

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查平面图形的面积计算和旋转体体积的积分法，涉及指数函数的积分运算。

解题思路：

  1. 确定积分区域：通过分析曲线$x=e^y$、$x=e^{-y}$与直线$y=2$的交点，明确积分上下限为$y=0$到$y=2$。
  2. 面积计算：利用横向积分法，对每个$y$，横向宽度为$x=e^y - e^{-y}$，积分得到面积。
  3. 体积计算：采用圆盘法，将旋转体视为无限个圆环叠加，每个圆环的面积为$\pi[(e^y)^2 - (e^{-y})^2]$，积分得到体积。

关键点：

  • 曲线交点：确定积分上下限为$y=0$到$y=2$。
  • 积分表达式：正确写出横向宽度和圆环面积的表达式。

第（1）题：求面积$A$

确定积分上下限

曲线$x=e^y$与$x=e^{-y}$在$y=0$处相交于点$(1,0)$，直线$y=2$与两曲线分别交于$(e^2,2)$和$(e^{-2},2)$，因此积分上下限为$y=0$到$y=2$。

计算横向宽度

对于每个$y$，横向宽度为右侧曲线$x=e^y$与左侧曲线$x=e^{-y}$之差：
$\text{宽度} = e^y - e^{-y}$

积分求面积

面积$A$为宽度在$y=0$到$y=2$上的积分：
$A = \int_{0}^{2} (e^y - e^{-y}) \, dy$

分步计算

  1. 积分$e^y$：
    $\int e^y \, dy = e^y$
  2. 积分$e^{-y}$：
    $\int e^{-y} \, dy = -e^{-y}$
  3. 合并结果：
    $A = \left[ e^y + e^{-y} \right]_{0}^{2} = (e^2 + e^{-2}) - (1 + 1) = e^2 + e^{-2} - 2$

第（2）题：求体积$V$

确定圆盘法公式

绕$y$轴旋转的体积元素为圆环，面积为：
$\pi \left[ (e^y)^2 - (e^{-y})^2 \right]$

积分求体积

体积$V$为面积元素在$y=0$到$y=2$上的积分：
$V = \pi \int_{0}^{2} \left( e^{2y} - e^{-2y} \right) \, dy$

分步计算

  1. 积分$e^{2y}$：
    $\int e^{2y} \, dy = \frac{1}{2} e^{2y}$
  2. 积分$e^{-2y}$：
    $\int e^{-2y} \, dy = -\frac{1}{2} e^{-2y}$
  3. 合并结果：
    $V = \pi \left[ \frac{1}{2} e^{2y} + \frac{1}{2} e^{-2y} \right]_{0}^{2} = \frac{\pi}{2} \left[ (e^4 + e^{-4}) - (1 + 1) \right] = \frac{\pi}{2} (e^4 + e^{-4} - 2)$