题目
下列说法错误的是________。A.任意两个矩阵都可以进行乘法运算。B.矩阵乘法不满足消去律。C.矩阵乘法不满足交换律。D.两个非零矩阵可以相乘得出零矩阵。
下列说法错误的是________。
A.任意两个矩阵都可以进行乘法运算。
B.矩阵乘法不满足消去律。
C.矩阵乘法不满足交换律。
D.两个非零矩阵可以相乘得出零矩阵。
题目解答
答案
（1）A选项：
矩阵的乘法运算有意义的条件是：只有当
的列数等于
的行数时，
才有意义，故不是任意两个矩阵都可以进行乘法运算，例如矩阵
与矩阵
不能相乘，故A选项错误；
（2）B选项：
举例子：若
，
，根据矩阵的乘法运算法则，有
，虽然
，
，但仍有可能
，因此，矩阵的乘法一般不满足消去律，即由
，不一定有
，故B选项正确；
（3）C选项：
举例子：若，，
根据矩阵的乘法运算法则，有，
，故
，故矩阵乘法不满足交换律，C选项正确；
（D）D选项：
若，，
根据矩阵的乘法运算法则，有，而，，故两个非零矩阵可以相乘得出零矩阵，D选项正确。
综上所述，应选A选项。
解析
步骤 1：矩阵乘法的条件
矩阵乘法的条件是：只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能进行乘法运算。因此，不是任意两个矩阵都可以进行乘法运算。例如，矩阵A= (1/1) 1 1 1 1与矩阵$B=(1,1)$不能相乘，因为A的列数为2，而B的行数为1，不满足乘法条件。
步骤 2：矩阵乘法的消去律
矩阵乘法不满足消去律。举例子：若A= -1 -1 1 1，B= -1 1 1 -1，根据矩阵的乘法运算法则，有AB= -1 -1 -1 1 $00$ 1 1 1 -1 0 0 =，虽然$O\neq E$，$B\neq 0$，但仍有可能$AB=0$，因此，矩阵的乘法一般不满足消去律，即由AB=AC，不一定有B=C。
步骤 3：矩阵乘法的交换律
矩阵乘法不满足交换律。举例子：若A= -1 -1 1 1，B= -1 1 1 -1，根据矩阵的乘法运算法则，有AB= -1 -1 -1 1 $00$ 1 1 1 -1 0 0 =，BA= -1 1 -1 -1 2 2 1 -1 1 $I$ -2 -2 =，故$AB\neq BA$，故矩阵乘法不满足交换律。
步骤 4：两个非零矩阵相乘得出零矩阵
两个非零矩阵可以相乘得出零矩阵。举例子：若A= -1 -1 1 1，B= -1 1 1 -1，根据矩阵的乘法运算法则，有AB= -1 -1 -1 1 $00$ 1 1 1 -1 0 0 =，而$O\neq E$，$B\neq 0$，故两个非零矩阵可以相乘得出零矩阵。
矩阵乘法的条件是：只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能进行乘法运算。因此，不是任意两个矩阵都可以进行乘法运算。例如，矩阵A= (1/1) 1 1 1 1与矩阵$B=(1,1)$不能相乘，因为A的列数为2，而B的行数为1，不满足乘法条件。
步骤 2：矩阵乘法的消去律
矩阵乘法不满足消去律。举例子：若A= -1 -1 1 1，B= -1 1 1 -1，根据矩阵的乘法运算法则，有AB= -1 -1 -1 1 $00$ 1 1 1 -1 0 0 =，虽然$O\neq E$，$B\neq 0$，但仍有可能$AB=0$，因此，矩阵的乘法一般不满足消去律，即由AB=AC，不一定有B=C。
步骤 3：矩阵乘法的交换律
矩阵乘法不满足交换律。举例子：若A= -1 -1 1 1，B= -1 1 1 -1，根据矩阵的乘法运算法则，有AB= -1 -1 -1 1 $00$ 1 1 1 -1 0 0 =，BA= -1 1 -1 -1 2 2 1 -1 1 $I$ -2 -2 =，故$AB\neq BA$，故矩阵乘法不满足交换律。
步骤 4：两个非零矩阵相乘得出零矩阵
两个非零矩阵可以相乘得出零矩阵。举例子：若A= -1 -1 1 1，B= -1 1 1 -1，根据矩阵的乘法运算法则，有AB= -1 -1 -1 1 $00$ 1 1 1 -1 0 0 =，而$O\neq E$，$B\neq 0$，故两个非零矩阵可以相乘得出零矩阵。