题目

6.设A= (} 2& 0& 0 0& 3& 5 0& 1& 4 ) . ,且 AB=A+B ,求 +B. 。

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查矩阵方程的求解，涉及矩阵乘法、分块矩阵的性质以及方程组的解法。

解题核心思路：

  1. 观察矩阵结构：矩阵A具有分块上三角结构，左上角为1×1块，右下角为2×2块。利用分块矩阵的乘法规律，可将问题分解为更简单的子问题。
  2. 方程变形：将原方程$AB = A + B$变形为$B(A - I) = A$，若$A - I$可逆，则$B = A(A - I)^{-1}$。但直接计算逆矩阵较复杂，因此通过分块处理简化运算。
  3. 分块求解：分别求解左上角块和右下角块的方程，最终得到$A + B$的结构。

破题关键点：

  • 分块矩阵的分解：将矩阵B假设为与A相同的分块结构，简化乘法运算。
  • 块内方程组求解：通过对应位置元素相等，建立方程组求解未知数。

步骤1：分解矩阵结构

矩阵$A$可分解为分块形式：
$A = \begin{bmatrix}2 & \mathbf{0}^T \\\mathbf{0} & \begin{bmatrix}3 & 5 \\ 1 & 4\end{bmatrix} \end{bmatrix}$
假设矩阵$B$具有相同分块结构：
$B = \begin{bmatrix}b_{11} & \mathbf{0}^T \\\mathbf{0} & \begin{bmatrix}b_{22} & b_{23} \\ b_{32} & b_{33}\end{bmatrix} \end{bmatrix}$

步骤2：求解左上角块

根据方程$AB = A + B$，左上角块满足：
$2b_{11} = 2 + b_{11} \implies b_{11} = 2$
因此，$A + B$的左上角块为$2 + 2 = 4$。

步骤3：求解右下角块

设$A$的右下角块为$\begin{bmatrix}3 & 5 \\ 1 & 4\end{bmatrix}$，$B$的右下角块为$\begin{bmatrix}b_{22} & b_{23} \\ b_{32} & b_{33}\end{bmatrix}$。根据方程$AB = A + B$，对应元素满足：

  1. (1,1)位置：
    $3b_{22} + 5b_{32} = 3 + b_{22} \implies 2b_{22} + 5b_{32} = 3$

  2. (2,1)位置：
    $b_{22} + 4b_{32} = 1 + b_{32} \implies b_{22} + 3b_{32} = 1$
    解得：$b_{32} = -1$，$b_{22} = 4$。

  3. (1,2)位置：
    $3b_{23} + 5b_{33} = 5 + b_{23} \implies 2b_{23} + 5b_{33} = 5$

  4. (2,2)位置：
    $b_{23} + 4b_{33} = 4 + b_{33} \implies b_{23} + 3b_{33} = 4$
    解得：$b_{33} = 3$，$b_{23} = -5$。

因此，$B$的右下角块为$\begin{bmatrix}4 & -5 \\ -1 & 3\end{bmatrix}$，对应$A + B$的右下角块为：
$\begin{bmatrix}3 + 4 & 5 + (-5) \\ 1 + (-1) & 4 + 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7 & 0 \\ 0 & 7\end{bmatrix}$