5.当x→0时，e-e^cosx是sqrt[3](1+x^2)-1的（）.A. 高阶无穷小B. 低阶无穷小C. 同阶但非等价无穷小D. 等价无穷小

考查要点：本题主要考查无穷小阶的比较，需要利用泰勒展开式展开两个函数，比较它们的主部项。

解题核心思路：

1. 将两个函数分别展开为泰勒多项式，保留到足够阶数的项；
2. 比较展开式中最低次项的次数（决定阶数）和系数（决定是否等价）；
3. 若次数相同但系数不同，则为同阶但非等价无穷小。

破题关键点：

• 正确展开 $e^{\cos x}$ 和 $\sqrt[3]{1+x^2}-1$ 的泰勒多项式；
• 识别主部项，即最低次项的次数和系数。

展开 $e - e^{\cos x}$

1. 展开 $\cos x$：
   $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$；
2. 代入指数函数：
   $e^{\cos x} = e^{1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)} = e \cdot e^{-\frac{x^2}{2} + o(x^2)}$；
3. 展开指数函数：
   $e^{-\frac{x^2}{2} + o(x^2)} \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{(-\frac{x^2}{2})^2}{2} + o(x^2) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^2)$；
4. 计算差值：
   $e - e^{\cos x} \approx e \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8} + o(x^2) \right]$，主部为 $\frac{e}{2}x^2$。

展开 $\sqrt[3]{1+x^2} - 1$

1. 二项式展开：
   $(1+x^2)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}x^2 + \frac{\frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{3} - 1 \right)}{2}x^4 + o(x^4)$；
2. 化简：
   $\sqrt[3]{1+x^2} - 1 \approx \frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{9}x^4 + o(x^2)$，主部为 $\frac{1}{3}x^2$。

比较阶数

• 两式主部均为 $x^2$，同阶无穷小；
• 系数 $\frac{e}{2} \neq \frac{1}{3}$，非等价无穷小。