计算下列极限：(1) lim _(xarrow 0)(x)^2sin dfrac (1)(x);-|||-(2) lim _(xarrow infty )dfrac (arctan x)(x).

考查要点：

1. 极限的基本性质：掌握乘积极限的性质，特别是当一个因子趋于0而另一个因子有界时的处理方法。
2. 夹逼定理：利用函数的有界性结合不等式求解极限。
3. 洛必达法则：处理“∞/∞”型不定式极限。

解题核心思路：

1. 第（1）题：通过分析$\sin \frac{1}{x}$的有界性（绝对值不超过1），结合$x^2$在$x \to 0$时趋于0的性质，直接应用夹逼定理得出结果。
2. 第（2）题：观察到分子$\arctan x$趋于$\frac{\pi}{2}$，分母$x$趋于无穷大，属于“常数/∞”型极限，可直接判断结果为0；或通过洛必达法则求导后化简。

第（1）题

关键点：$\sin \frac{1}{x}$在$x \to 0$时振荡无极限，但绝对值始终满足$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$。

应用夹逼定理

1. 由不等式：
   $-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2$
2. 当$x \to 0$时，$x^2 \to 0$，因此两边同时趋于0。
3. 根据夹逼定理，原极限为：
   $\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0$

第（2）题

关键点：分子$\arctan x$趋于$\frac{\pi}{2}$，分母$x$趋于无穷大，属于“常数/∞”型。

直接分析

1. 当$x \to \infty$时，$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，因此分子趋于常数，分母趋于无穷大，整体趋于0。

洛必达法则（备选方法）

1. 原式为$\frac{\infty}{\infty}$型，对分子分母分别求导：
   $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{dx} (\arctan x)}{\frac{d}{dx} (x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{1} = 0$