题目
判断函数y=x^3的奇偶性。
判断函数$$y=x^3$$的奇偶性。
题目解答
答案
$$y=x^3$$，所以定义域是R，关于原点对称；
因为$$y(-x)=(-x^3)=-x^3=-y(x)$$，
所以$$y=x^3$$是奇函数。
解析
判断函数奇偶性的核心思路是验证$f(-x)$与$f(x)$的关系：
- 定义域对称性：首先确认函数的定义域关于原点对称，否则函数既不是奇函数也不是偶函数。
- 代数运算验证：计算$f(-x)$，判断其是否等于$-f(x)$（奇函数）或$f(x)$（偶函数）。
关键点：
- 三次函数的奇偶性：奇次幂函数（如$x^3$）通常具有奇函数特性，但需严格验证。
-
定义域分析
函数$y = x^3$中，$x$可取全体实数，因此定义域为$\mathbb{R}$，显然关于原点对称。 -
计算$f(-x)$
代入$-x$得：
$f(-x) = (-x)^3 = -x^3$ -
与$-f(x)$比较
原函数$f(x) = x^3$，因此：
$-f(x) = -x^3$
可见$f(-x) = -f(x)$，满足奇函数定义。