题目
21.某厂要用铁板做成一个体积为64m ^3的有盖长方体水箱.问长、宽、高各取怎-|||-样的尺寸才能使用料最省?
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义变量
设长方体水箱的长、宽、高分别为x、y、z（单位：m），则体积V = xyz = 64 m^3。
步骤 2：建立目标函数
使用料最省意味着表面积最小。长方体的表面积S = 2(xy + xz + yz)。我们的目标是找到x、y、z的值，使得S最小。
步骤 3：利用体积约束
由于V = xyz = 64，我们可以将z表示为z = 64/(xy)。将z代入表面积公式中，得到S = 2(xy + x(64/xy) + y(64/xy)) = 2(xy + 64/y + 64/x)。
步骤 4：求导数
为了找到S的最小值，我们需要对S关于x和y求偏导数，并令其等于0。首先，对x求偏导数得到∂S/∂x = 2(y - 64/x^2)。对y求偏导数得到∂S/∂y = 2(x - 64/y^2)。
步骤 5：解方程组
令∂S/∂x = 0和∂S/∂y = 0，得到y = 64/x^2和x = 64/y^2。将y = 64/x^2代入x = 64/y^2中，得到x = 64/(64/x^2)^2 = x^4/64^2。解得x = 4。同理可得y = 4。将x = 4和y = 4代入z = 64/(xy)中，得到z = 4。
步骤 6：验证最小值
为了验证x = 4，y = 4，z = 4是S的最小值，我们可以计算二阶偏导数。∂²S/∂x² = 128/x^3 > 0，∂²S/∂y² = 128/y^3 > 0，∂²S/∂x∂y = -128/(xy)^2 < 0。根据二阶偏导数的符号，我们可以确定x = 4，y = 4，z = 4是S的最小值点。
设长方体水箱的长、宽、高分别为x、y、z（单位：m），则体积V = xyz = 64 m^3。
步骤 2：建立目标函数
使用料最省意味着表面积最小。长方体的表面积S = 2(xy + xz + yz)。我们的目标是找到x、y、z的值，使得S最小。
步骤 3：利用体积约束
由于V = xyz = 64，我们可以将z表示为z = 64/(xy)。将z代入表面积公式中，得到S = 2(xy + x(64/xy) + y(64/xy)) = 2(xy + 64/y + 64/x)。
步骤 4：求导数
为了找到S的最小值，我们需要对S关于x和y求偏导数，并令其等于0。首先，对x求偏导数得到∂S/∂x = 2(y - 64/x^2)。对y求偏导数得到∂S/∂y = 2(x - 64/y^2)。
步骤 5：解方程组
令∂S/∂x = 0和∂S/∂y = 0，得到y = 64/x^2和x = 64/y^2。将y = 64/x^2代入x = 64/y^2中，得到x = 64/(64/x^2)^2 = x^4/64^2。解得x = 4。同理可得y = 4。将x = 4和y = 4代入z = 64/(xy)中，得到z = 4。
步骤 6：验证最小值
为了验证x = 4，y = 4，z = 4是S的最小值，我们可以计算二阶偏导数。∂²S/∂x² = 128/x^3 > 0，∂²S/∂y² = 128/y^3 > 0，∂²S/∂x∂y = -128/(xy)^2 < 0。根据二阶偏导数的符号，我们可以确定x = 4，y = 4，z = 4是S的最小值点。