求指导本题解题过程，谢谢您！8.设 alpha =(({a)_(1),(a)_(2),(a)_(3))T , beta =(({b)_(1),(b)_(2),(b)_(3))}^T , _(1)=(({a)_(1),(a)_(2))}^T , (beta )_(1)=(({b)_(1),(b)_(2))}^T, 下-|||-列正确的是 ()-|||-(A)若α,β线性相关,则α1,β1也线性相关; (B)若α,β线性无关,则α1,β1也线性无关;-|||-(C)若α1,β1线性相关,则α,β也线性相关; (D)以上都不对

本题主要考察向量组线性相关性的基本概念及性质，需区分三维向量与二维向量（其子向量）之间线性相关性的关系。

关键知识点回顾

• 线性相关：向量组$\alpha,\beta$线性相关$\iff$存在不全为零的$k_1,k_2$，使$k_1\alpha+k_2\beta=0$；对二维向量$\alpha_1,\beta_1$同理。
• 线性无关：向量组线性无关$\iff$仅当$k_1=k_2=0$时$k_1\alpha+k_2\beta=0$成立。

选项逐一分析

选项A：若$\alpha,\beta$线性相关，则$\alpha_1,\beta_1$也线性相关

• 证明：$\alpha,\beta$线性相关$\implies$存在不全为零的$k_1,k_2$，使$k_1\alpha+k_2\beta=0$，即：
  $\begin{cases} k_1a_1 + k_2b_1 = 0 \\ k_1a_2 + k_2b_2 = 0 \\ k_1a_3 + k_2b_3 = 0 \end{cases}$
  前两个方程恰好说明$k_1\alpha_1 + k_2\beta_1 = 0$，且$k_1,k_2$不全为零，故$\alpha_1,\beta_1$线性相关。A正确。

选项B：若$\alpha,\beta$线性无关，则$\alpha_1,\beta_1$也线性无关

• 反例：取$\alpha=(1,0,1)^T$，$\beta=(0,1,2)^T$，显然$\alpha,\beta$线性无关（对应分量不成比例）；但$\alpha_1=(1,0)^T$，$\beta_1=(0,1)^T$线性无关？不，此处原解答举例错误，修正反例：
  取$\alpha=(1,1,1)^T$，$\beta=(2,2,3)^T$，$\alpha,\beta$线性无关（二阶子式$|\begin{matrix}1&2\\1&2\end{matrix}|=0$，但三维不成比例）；而$\alpha_1=(1,1)^T$，$\beta_1=(2,2)^T$线性相关（$\beta_1=2\alpha_1$）。
  故B错误。

选项C：若$\alpha_1,\beta_1$线性相关，则$\alpha,\beta$也线性相关

• 反例：取$\alpha_1=(1,2)^T$，$\beta_1=(2,4)^T$（线性相关），补充$a_3=1$，$b_3=2$，得$\alpha=(1,2,1)^T$，$\beta=(2,4,2)^T$，此时$\alpha=0.5\beta$，仍线性相关？修正反例：
  取$\alpha=(1,2,1)^T$，$\beta=(2,4,3)^T$，$\alpha_1=(1,2)^T$，$\beta_1=(2,4)^T$线性相关（$\beta_1=2\alpha_1$），但$\alpha,\beta$线性无关（三阶行列式$|\begin{matrix}1&2\\2&4\\1&3\end{matrix}|=1\cdot(12-12)-2\cdot(6-4)+1\cdot(8-4)=4\neq0$）。
  故C错误。

选项D：以上都不对

因A正确，故D错误。