求极限lim _(narrow infty )sqrt [n](1+{a)^n+(a)^2n}(agt 0)

考查要点：本题主要考查n次根号下多项式的极限，需要根据参数$a$的不同取值范围，确定主导项并应用极限性质。

解题核心思路：
当$n \rightarrow \infty$时，表达式$\sqrt[n]{1 + a^n + a^{2n}}$的极限由三个项中的最大值决定。通过比较$1$、$a^n$、$a^{2n}$的大小关系，分情况讨论$a$的取值范围，最终确定极限值。

破题关键点：

1. 分情况讨论：根据$a$与$1$的大小关系，将问题划分为$0 < a \leq 1$和$a > 1$两种情形。
2. 提取主导项：在每种情形下，找到增长最快的项，将其作为主导项，剩余项的影响可忽略。

情形1：当$0 < a \leq 1$时

1. 分析项的大小：

   • $a \leq 1$，因此$a^n \rightarrow 0$，$a^{2n} \rightarrow 0$（当$n \rightarrow \infty$时）。
   • 此时$1$是最大的项，即$\max\{1, a, a^2\} = 1$。

2. 极限计算：
   $\sqrt[n]{1 + a^n + a^{2n}} = \sqrt[n]{1 \cdot \left(1 + a^n + a^{2n}\right)} = 1 \cdot \sqrt[n]{1 + a^n + a^{2n}}$
   由于$a^n$和$a^{2n}$趋近于$0$，括号内整体趋近于$1$，故极限为$1$。

情形2：当$a > 1$时

1. 分析项的大小：

   • $a > 1$，因此$a^{2n}$增长最快，是最大的项，即$\max\{1, a, a^2\} = a^2$。

2. 极限计算：
   $\sqrt[n]{1 + a^n + a^{2n}} = \sqrt[n]{a^{2n} \left(1 + a^{-n} + a^{-2n}\right)} = a^2 \cdot \sqrt[n]{1 + a^{-n} + a^{-2n}}$
   由于$a^{-n} \rightarrow 0$，$a^{-2n} \rightarrow 0$，括号内整体趋近于$1$，故极限为$a^2$。