题目

三、判断题（共15题，30.0分）44.（判断题，2.0分）Xsim F(n_(1),n_(2))，则(1)/(X)sim F(n_(2),n_(1))A 对B 错

三、判断题（共15题，30.0分） 44.（判断题，2.0分） $X\sim F(n_{1},n_{2})$，则$\frac{1}{X}\sim F(n_{2},n_{1})$ A 对 B 错

题目解答

答案

为了判断题目中给出的陈述是否正确，我们需要理解F分布的性质。F分布由两个自由度参数定义，通常表示为 $ F(n_1, n_2) $。如果一个随机变量 $ X $ 服从 $ F(n_1, n_2) $ 分布，那么它的倒数 $ \frac{1}{X} $ 将服从 $ F(n_2, n_1) $ 分布。 让我们逐步分析： 1. **F分布的定义**：如果 $ X \sim F(n_1, n_2) $，那么 $ X $ 可以表示为两个卡方分布随机变量的比值，每个变量除以各自的自由度。具体来说，如果 $ U \sim \chi^2(n_1) $ 和 $ V \sim \chi^2(n_2) $ 是独立的，那么 \[ X = \frac{U/n_1}{V/n_2} \sim F(n_1, n_2). \] 2. **倒数的分布**：现在，考虑 $ X $ 的倒数： \[ \frac{1}{X} = \frac{V/n_2}{U/n_1} = \frac{V}{n_2} \cdot \frac{n_1}{U} = \frac{V \cdot n_1}{U \cdot n_2}. \] 由于 $ U \sim \chi^2(n_1) $ 和 $ V \sim \chi^2(n_2) $ 是独立的，$ \frac{V \cdot n_1}{U \cdot n_2} $ 是两个卡方分布随机变量的比值，每个变量除以各自的自由度，但自由度互换了。因此， \[ \frac{1}{X} \sim F(n_2, n_1). \] 根据以上推理，题目中给出的陈述是正确的。因此，答案是： \[ \boxed{A} \]

解析

F分布的倒数性质是本题的考查核心。当随机变量$X$服从$F(n_1, n_2)$分布时，其倒数$\frac{1}{X}$的分布与原分布的自由度参数$n_1$和$n_2$的位置相关。关键点在于理解F分布的定义：若$X$是两个卡方分布变量比值的标准化形式，则取倒数后，分子分母的自由度会交换，从而导致新的F分布参数交换。

  1. F分布的定义
    若$X \sim F(n_1, n_2)$，则$X$可表示为两个独立卡方变量的比值：
    $X = \frac{U/n_1}{V/n_2},$
    其中$U \sim \chi^2(n_1)$，$V \sim \chi^2(n_2)$。

  2. 求倒数的分布
    对$X$取倒数：
    $\frac{1}{X} = \frac{V/n_2}{U/n_1} = \frac{V \cdot n_1}{U \cdot n_2}.$
    此时，$\frac{1}{X}$的结构仍符合F分布的定义，但分子自由度变为$n_2$，分母自由度变为$n_1$，因此：
    $\frac{1}{X} \sim F(n_2, n_1).$

结论：题目中的陈述正确。