【题目】设无向图G有10条边,3度与4度顶点各2个,其余顶点的度数均小于3,问G中至少有几个顶点.在最少顶点的情况下,写出G的度数列、△(G)、 δ(G)

考查要点：本题主要考查握手定理的应用，以及如何通过度数约束条件确定图的最小顶点数。关键在于利用度数之和等于边数的两倍，并结合各顶点度数的限制条件建立不等式。

解题核心思路：

1. 握手定理：所有顶点的度数之和等于边数的两倍（即$2m$）。
2. 度数约束：已知3度和4度顶点各2个，其余顶点度数均$\leq2$。通过总度数建立不等式，求出顶点数$n$的最小值。
3. 验证可行性：当$n$取最小值时，检查度数列是否满足图存在的条件（如Havel-Hakimi定理）。

破题关键点：

• 总度数计算：将已知顶点的度数与剩余顶点的最大可能度数相加，建立不等式。
• 不等式求解：通过总度数等于$2m=20$，解出$n$的最小值。

设图$G$的顶点数为$n$，已知：

• 3度顶点有2个，总度数为$3 \times 2 = 6$；
• 4度顶点有2个，总度数为$4 \times 2 = 8$；
• 剩余$n-4$个顶点的度数均$\leq2$，总度数最大为$2(n-4)$。

根据握手定理，总度数为$2m=20$，因此：
$6 + 8 + 2(n-4) \geq 20$
化简得：
$2(n-4) \geq 6 \implies n-4 \geq 3 \implies n \geq 7$
当$n=7$时，剩余3个顶点的度数均为2，总度数为$6+8+2 \times 3=20$，满足条件。

验证可行性：

• 度数列为$(4,4,3,3,2,2,2)$，按降序排列为$(4,4,3,3,2,2,2)$。
• 最大度$\Delta(G)=4$，最小度$\delta(G)=2$。
• 满足Havel-Hakimi条件：最大度4不超过剩余顶点数6，且后续顶点度数可调整。