5【判断题】 判断:反常积分int_(0)^(1)/(2)(1)/(sqrt(x(1-x)))dx是发散的.（）A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查反常积分（瑕积分）的收敛性判断，特别是被积函数在积分区间端点处的奇点处理。

解题核心思路：

1. 识别奇点：被积函数$\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}$在$x=0$处存在奇点，需判断该点是否为瑕点。
2. 转化为极限形式：将积分写成$\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx$，通过计算极限判断收敛性。
3. 变量代换简化积分：通过三角代换$x = \sin^2 \theta$，将积分转化为易计算的形式，最终通过计算极限得出结论。

破题关键点：

• 正确识别瑕点位置，并确定积分类型为瑕积分。
• 选择合适的代换方法简化积分计算，避免直接计算原函数的复杂性。

步骤1：分析被积函数的奇点

被积函数$\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}$在$x=0$处分母为0，存在奇点；在$x=1/2$处函数值为有限值。因此，积分$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx$是一个瑕积分，需判断其收敛性。

步骤2：转化为极限形式

将积分写成：
$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx.$

步骤3：变量代换计算积分

令$x = \sin^2 \theta$，则$dx = 2 \sin \theta \cos \theta d\theta$，积分上下限变为：

• 当$x = a$时，$\theta = \arcsin(\sqrt{a})$；
• 当$x = \frac{1}{2}$时，$\theta = \frac{\pi}{4}$。

代入积分得：
$\begin{aligned}\int_{a}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx &= \int_{\arcsin(\sqrt{a})}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sqrt{\sin^2 \theta \cos^2 \theta}} \cdot 2 \sin \theta \cos \theta d\theta \\&= \int_{\arcsin(\sqrt{a})}^{\frac{\pi}{4}} 2 d\theta \\&= 2 \left( \frac{\pi}{4} - \arcsin(\sqrt{a}) \right).\end{aligned}$

步骤4：计算极限判断收敛性

取$a \to 0^+$的极限：
$\lim_{a \to 0^+} 2 \left( \frac{\pi}{4} - \arcsin(\sqrt{a}) \right) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.$
由于极限存在且为有限值，积分收敛。