[题目]已知道是第一象限中从点(0,0)沿圆周-|||-^2+(y)^2=2x 到点(2,0),再沿圆周 ^2+(y)^2=4 到点(0,2)的曲-|||-线段,-|||-计算曲线积分 =-|||-∫-|||-(x)^2ydx+((x)^3+x-2y)dy.

考查要点：本题主要考查曲线积分的计算，特别是利用格林公式将曲线积分转化为二重积分的能力，以及处理非闭合曲线时的补线技巧。

解题核心思路：

1. 识别曲线形状：题目中的两条圆弧分别为$(x-1)^2 + y^2 = 1$（圆心$(1,0)$，半径1）和$(x-2)^2 + y^2 = 4$（圆心$(2,0)$，半径2）。
2. 构造闭合区域：通过补线将原曲线闭合，利用格林公式转化为二重积分。
3. 计算闭合积分与补线积分：分别计算闭合区域的面积和补线上的积分，最终得到结果。

破题关键点：

• 补线选择：沿$y$轴补线，使原曲线闭合。
• 格林公式应用：被积函数$Q_x - P_y = 1$，闭合积分等于区域面积。
• 区域面积计算：通过几何方法求解两个圆弧围成的区域面积。

步骤1：应用格林公式

构造闭合曲线$L = t \cup L_3$（$L_3$为补线），由格林公式：
$\oint_L (3x^2y \, dx + (x^3 + x - 2y) \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA = \iint_D 1 \, dA = \text{区域}D\text{的面积}.$

步骤2：计算闭合积分

区域$D$由两部分组成：

1. 大圆四分之一面积：圆$(x-2)^2 + y^2 = 4$的上半部分从$(2,0)$到$(0,2)$，对应$\frac{1}{4}$圆面积，即$\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 2^2 = \pi$。
2. 小圆半圆面积：圆$(x-1)^2 + y^2 = 1$的下半部分从$(0,0)$到$(2,0)$，对应$\frac{1}{2}$圆面积，即$\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{2}$。
   因此，区域$D$的面积为$\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$。

步骤3：计算补线积分

补线$L_3$为沿$y$轴从$(0,2)$到$(0,0)$，参数化为$x=0$, $dx=0$，积分变为：
$\int_{L_3} (3 \cdot 0^2 \cdot y \, dx + (0^3 + 0 - 2y) \, dy) = \int_{2}^{0} (-2y) \, dy = \int_{0}^{2} 2y \, dy = 2 \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_{0}^{2} = 4.$

步骤4：综合结果

原曲线积分$J = \text{闭合积分} - \text{补线积分} = \frac{\pi}{2} - 4$。