1.设随机变量X的分布律为-|||- X=k =cdfrac ({lambda )^k}(k!) =1,2, ..... lambda gt 0,-|||-求常数c的值.

考查要点：本题主要考查概率分布的归一化条件，即所有可能取值的概率之和等于1。需要利用指数函数的泰勒展开式来简化求和过程。

解题核心思路：

1. 根据概率分布的归一化条件，写出总概率为1的方程。
2. 将求和式与指数函数的展开式关联，通过减去多余项（k=0时的项）得到最终表达式。
3. 解方程求出常数c的值。

破题关键点：

• 识别指数函数展开式：$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda}$。
• 调整求和下界：题目中求和从$k=1$开始，需从指数展开式中减去$k=0$的项（即1）。

根据概率分布的归一化条件，所有可能取值的概率之和为1：

$\sum_{k=1}^{\infty} P\{X=k\} = \sum_{k=1}^{\infty} c \cdot \frac{\lambda^k}{k!} = 1.$

步骤1：关联指数函数展开式
指数函数$e^{\lambda}$的泰勒展开式为：
$e^{\lambda} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}.$

步骤2：调整求和范围
题目中的求和从$k=1$开始，因此：
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda} - \frac{\lambda^0}{0!} = e^{\lambda} - 1.$

步骤3：代入归一化条件
将上述结果代入原方程：
$c \cdot (e^{\lambda} - 1) = 1.$

步骤4：解方程求c
解得：
$c = \frac{1}{e^{\lambda} - 1}.$