2、某工厂生产甲、乙两种产品,其销售单价分别为10元和9元.若生产x单位甲产品-|||-与生产y单位乙产品所需要的总费用为-|||-+2x+3y+0.01(3(x)^2+xy+3(y)^2) (元)-|||-问当甲、乙两种产品的产量各为多少时,获得最大利润?并计算最大利润.

考查要点：本题主要考查多元函数的极值应用，涉及利润最大化模型的建立与求解，需要掌握偏导数求解极值的方法及二阶导数检验的条件。

解题核心思路：

1. 构造利润函数：利润=总收入−总成本，需正确展开并简化表达式。
2. 求偏导数并解方程组：通过求一阶偏导数并令其为零，找到临界点。
3. 二阶导数检验：利用Hessian矩阵判断临界点是否为极大值点。

破题关键点：

• 正确建立利润函数，注意总成本的分项处理。
• 联立方程组的求解技巧，如消元法或代入法。
• 二阶导数符号与行列式的计算，确保满足极大值条件。

构造利润函数
总收入为 $10x + 9y$，总成本为 $400 + 2x + 3y + 0.01(3x^2 + xy + 3y^2)$，因此利润函数为：
$f(x, y) = 10x + 9y - \left[400 + 2x + 3y + 0.01(3x^2 + xy + 3y^2)\right]$
化简得：
$f(x, y) = 8x + 6y - 400 - 0.03x^2 - 0.01xy - 0.03y^2$

求一阶偏导数并解方程组
对 $x$ 求偏导：
$\frac{\partial f}{\partial x} = 8 - 0.06x - 0.01y = 0 \quad (1)$
对 $y$ 求偏导：
$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 - 0.01x - 0.06y = 0 \quad (2)$
将方程组转化为：
$\begin{cases}6x + y = 800 \\x + 6y = 600\end{cases}$
解得：
$x = 120, \quad y = 80$

二阶导数检验
计算二阶偏导数：
$f_{xx} = -0.06, \quad f_{xy} = -0.01, \quad f_{yy} = -0.06$
Hessian行列式：
$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-0.06)(-0.06) - (-0.01)^2 = 0.0035 > 0$
且 $f_{xx} < 0$，故 $(120, 80)$ 为极大值点。

计算最大利润
代入 $x=120, y=80$：
$f(120, 80) = 8 \cdot 120 + 6 \cdot 80 - 400 - 0.03 \cdot 120^2 - 0.01 \cdot 120 \cdot 80 - 0.03 \cdot 80^2 = 320 \ \text{元}$