A.B.C 均为 n 阶对称矩阵,下列结论正确的是()AB为对称矩阵当AB=BA时，AB为对称矩阵A+B为对称矩阵A-B为对称矩阵对任何n阶矩阵P，^TAP为对称矩阵

考查要点：本题主要考查对称矩阵的性质及其运算后的对称性判断，涉及矩阵转置、乘法、加减法以及相似变换后的对称性。

解题核心思路：

1. 对称矩阵的定义：若矩阵$A$满足$A^T = A$，则$A$为对称矩阵。
2. 运算后的对称性判断：
   • 乘法：$AB$的对称性取决于$A$与$B$是否可交换（即$AB=BA$）。
   • 加减法：对称矩阵的加减结果仍为对称矩阵。
   • 相似变换：对称矩阵经过任意矩阵$P$的相似变换$P^TAP$后仍保持对称性。

破题关键点：

• 转置运算的分配律：$(AB)^T = B^T A^T$，$(A+B)^T = A^T + B^T$，$(A-B)^T = A^T - B^T$。
• 对称性验证：通过计算运算后的矩阵转置，判断其是否等于原矩阵。

选项B：当$AB=BA$时，$AB$为对称矩阵

1. 计算$(AB)^T$：
   $(AB)^T = B^T A^T = BA \quad (\because A,B \text{对称})$
2. 验证对称性：
   当$AB=BA$时，$(AB)^T = BA = AB$，因此$AB$为对称矩阵。

选项C：$A+B$为对称矩阵

1. 计算$(A+B)^T$：
   $(A+B)^T = A^T + B^T = A + B \quad (\because A,B \text{对称})$
   因此$A+B$为对称矩阵。

选项D：$A-B$为对称矩阵

1. 计算$(A-B)^T$：
   $(A-B)^T = A^T - B^T = A - B \quad (\because A,B \text{对称})$
   因此$A-B$为对称矩阵。

选项E：对任何$n$阶矩阵$P$，$P^TAP$为对称矩阵

1. 计算$(P^TAP)^T$：
   $(P^TAP)^T = P^T A^T (P^T)^T = P^T A P \quad (\because A \text{对称},\ (P^T)^T = P)$
   因此$P^TAP$为对称矩阵。