题目
4.设矩阵A=(}1&2&-22&1&23&0&4，若Abeta与beta线性相关，则a=____。
4.设矩阵$A=\left(\begin{matrix}1&2&-2\\2&1&2\\3&0&4\end{matrix}\right)$，向量$\beta=(a,1,1)^{T}$，若$A\beta$与$\beta$线性相关，则a=____。
题目解答
答案
计算 $ A\beta $：
\[
A\beta = \begin{pmatrix} a \\ 2a+3 \\ 3a+4 \end{pmatrix}
\]
由线性相关性，存在 $ k $ 使得 $ A\beta = k\beta $，即：
\[
\begin{cases}
a = ka \\
2a + 3 = k \\
3a + 4 = k
\end{cases}
\]
由 $ a = ka $ 得 $ a(1-k) = 0 $，故 $ a = 0 $ 或 $ k = 1 $。
若 $ a = 0 $，则 $ k = 3 $ 且 $ k = 4 $，矛盾。
若 $ k = 1 $，则 $ a = -1 $，满足两式。
**答案：** $\boxed{-1}$
解析
考查要点：本题主要考查矩阵与向量的乘法运算，以及向量线性相关的条件。
解题思路：
- 计算矩阵与向量的乘积 $A\beta$，得到结果向量。
- 利用线性相关性，即存在常数$k$使得$A\beta = k\beta$，建立方程组。
- 分情况讨论方程组的解，排除矛盾情况，确定唯一解。
关键点：
- 线性相关的本质是向量成比例关系，需通过分量方程联立求解。
- 分类讨论时需注意$a=0$和$k=1$两种可能性，避免遗漏解。
-
计算矩阵与向量的乘积
$A\beta = \begin{pmatrix}1&2&-2\\2&1&2\\3&0&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\\2a+3\\3a+4\end{pmatrix}$ -
建立线性相关条件
设存在常数$k$，使得$A\beta = k\beta$，即：
$\begin{cases} a = ka \\ 2a + 3 = k \\ 3a + 4 = k \end{cases}$ -
分情况讨论
- 情况1：由$a = ka$得$a(1-k)=0$，故$a=0$或$k=1$。
- 若$a=0$，代入后两个方程得$k=3$和$k=4$，矛盾，舍去。
- 情况2：若$k=1$，代入后两个方程得：
$2a + 3 = 1 \quad \text{和} \quad 3a + 4 = 1$
解得$a=-1$，满足所有方程。
- 情况1：由$a = ka$得$a(1-k)=0$，故$a=0$或$k=1$。