题目
设A、B、C是三个相互独立的随机事件,且0<P(C)<1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是()A. A+B与CB. AC与CC. A−B与CD. AB与C
设A、B、C是三个相互独立的随机事件,且0<P(C)<1,则在下列给定的四对事件中不相互独立的是()
A. A+B与C
B. AC与C
C. A−B与C
D. AB与C
题目解答
答案
B. AC与C
解析
步骤 1:理解事件独立性
事件A、B、C相互独立意味着P(AB) = P(A)P(B),P(AC) = P(A)P(C),P(BC) = P(B)P(C),以及P(ABC) = P(A)P(B)P(C)。
步骤 2:分析选项A
A+B与C的独立性需要验证P((A+B)C) = P(A+B)P(C)。由于A、B、C相互独立,P((A+B)C) = P(AC) + P(BC) - P(ABC) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(A)P(B)P(C) = P(C)(P(A) + P(B) - P(A)P(B)) = P(C)P(A+B)。因此,A+B与C是相互独立的。
步骤 3:分析选项B
AC与.C的独立性需要验证P(AC.C) = P(AC)P(.C)。由于A、B、C相互独立,P(AC.C) = P(A)P(C)P(.C) = P(A)P(C)(1-P(C)) = P(AC)P(.C)。因此,AC与.C是相互独立的。
步骤 4:分析选项C
A-B与C的独立性需要验证P((A-B)C) = P(A-B)P(C)。由于A、B、C相互独立,P((A-B)C) = P(AC) - P(BC) = P(A)P(C) - P(B)P(C) = P(C)(P(A) - P(B)) = P(C)P(A-B)。因此,A-B与C是相互独立的。
步骤 5:分析选项D
AB与.C的独立性需要验证P(AB.C) = P(AB)P(.C)。由于A、B、C相互独立,P(AB.C) = P(AB)P(.C) = P(A)P(B)P(.C) = P(A)P(B)(1-P(C))。而P(AB)P(.C) = P(A)P(B)(1-P(C))。因此,AB与.C是相互独立的。
步骤 6:确定不独立的事件
根据以上分析,选项A、B、C、D中的事件都是相互独立的。因此,没有给出的选项是不相互独立的。
事件A、B、C相互独立意味着P(AB) = P(A)P(B),P(AC) = P(A)P(C),P(BC) = P(B)P(C),以及P(ABC) = P(A)P(B)P(C)。
步骤 2:分析选项A
A+B与C的独立性需要验证P((A+B)C) = P(A+B)P(C)。由于A、B、C相互独立,P((A+B)C) = P(AC) + P(BC) - P(ABC) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(A)P(B)P(C) = P(C)(P(A) + P(B) - P(A)P(B)) = P(C)P(A+B)。因此,A+B与C是相互独立的。
步骤 3:分析选项B
AC与.C的独立性需要验证P(AC.C) = P(AC)P(.C)。由于A、B、C相互独立,P(AC.C) = P(A)P(C)P(.C) = P(A)P(C)(1-P(C)) = P(AC)P(.C)。因此,AC与.C是相互独立的。
步骤 4:分析选项C
A-B与C的独立性需要验证P((A-B)C) = P(A-B)P(C)。由于A、B、C相互独立,P((A-B)C) = P(AC) - P(BC) = P(A)P(C) - P(B)P(C) = P(C)(P(A) - P(B)) = P(C)P(A-B)。因此,A-B与C是相互独立的。
步骤 5:分析选项D
AB与.C的独立性需要验证P(AB.C) = P(AB)P(.C)。由于A、B、C相互独立,P(AB.C) = P(AB)P(.C) = P(A)P(B)P(.C) = P(A)P(B)(1-P(C))。而P(AB)P(.C) = P(A)P(B)(1-P(C))。因此,AB与.C是相互独立的。
步骤 6:确定不独立的事件
根据以上分析,选项A、B、C、D中的事件都是相互独立的。因此,没有给出的选项是不相互独立的。