题目
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=(2+t)/(6)， y=sqrt(t).（s为参数）．（1）写出C1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ-sinθ=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6}，\\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C2的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{{2+s}}{6}，}\\{y=-\sqrt{s}}\end{array}}\right.$（s为参数）．
（1）写出C1的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ-sinθ=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
（1）写出C1的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ-sinθ=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
题目解答
答案
解：（1）由$\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6}，\\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，
可得C1的普通方程为y2=6x-2（y≥0）；
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{{2+s}}{6}，}\\{y=-\sqrt{s}}\end{array}}\right.$（s为参数），消去参数s，
可得C2的普通方程为y2=-6x-2（y≤0）．
由2cosθ-sinθ=0，得2ρcosθ-ρsinθ=0，
则曲线C3的直角坐标方程为2x-y=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{{y}^{2}=6x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C3与C1交点的直角坐标为（$\frac{1}{2}$，1）与（1，2）；
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{{y}^{2}=-6x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴C3与C2交点的直角坐标为（$-\frac{1}{2}$，-1）与（-1，-2）．
可得C1的普通方程为y2=6x-2（y≥0）；
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{{2+s}}{6}，}\\{y=-\sqrt{s}}\end{array}}\right.$（s为参数），消去参数s，
可得C2的普通方程为y2=-6x-2（y≤0）．
由2cosθ-sinθ=0，得2ρcosθ-ρsinθ=0，
则曲线C3的直角坐标方程为2x-y=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{{y}^{2}=6x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C3与C1交点的直角坐标为（$\frac{1}{2}$，1）与（1，2）；
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{{y}^{2}=-6x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴C3与C2交点的直角坐标为（$-\frac{1}{2}$，-1）与（-1，-2）．
解析
步骤 1：将曲线C_1的参数方程转换为普通方程
由$\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6}，\\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$，消去参数t，得到$y^2=6x-2$（y≥0）。
步骤 2：将曲线C_2的参数方程转换为普通方程
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{{2+s}}{6}，}\\{y=-\sqrt{s}}\end{array}}\right.$，消去参数s，得到$y^2=-6x-2$（y≤0）。
步骤 3：将曲线C_3的极坐标方程转换为直角坐标方程
由2cosθ-sinθ=0，得2ρcosθ-ρsinθ=0，即2x-y=0。
步骤 4：求C_3与C_1的交点
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{{y}^{2}=6x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$。
步骤 5：求C_3与C_2的交点
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{{y}^{2}=-6x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$。
由$\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6}，\\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$，消去参数t，得到$y^2=6x-2$（y≥0）。
步骤 2：将曲线C_2的参数方程转换为普通方程
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{{2+s}}{6}，}\\{y=-\sqrt{s}}\end{array}}\right.$，消去参数s，得到$y^2=-6x-2$（y≤0）。
步骤 3：将曲线C_3的极坐标方程转换为直角坐标方程
由2cosθ-sinθ=0，得2ρcosθ-ρsinθ=0，即2x-y=0。
步骤 4：求C_3与C_1的交点
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{{y}^{2}=6x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$。
步骤 5：求C_3与C_2的交点
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{{y}^{2}=-6x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$。