单选题（共50题，100.0分）43. (2.0分)设X_(1),...,X_(10)和Y_(1),...,Y_(20)分别是来自正态总体N(1,2)和N(0,3)的两个独立的样本，S_(1)^2和S_(2)^2别是两个样本的样本方差，则服从F(9,19)分布的统计量是（）A. (2S_(2)^2)/(3S_(1)^2)B. (3S_(1)^2)/(2S_(2)^2)

本题考查的知识点是正态总体样本方差构成的 $F$ 分布。解题思路是根据 $F$ 分布的定义，对于两个相互独立的正态总体，由它们的样本方差构造出服从 $F$ 分布的统计量，再结合题目所给的样本信息和总体参数，计算出具体的统计量表达式，最后与选项进行对比。

详细解析

1. 首先明确 $F$ 分布的定义：
   • 设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$ 的样本，$Y_1,Y_2,\cdots,Y_m$ 是来自正态总体 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 的样本，且两样本相互独立，$S_1^2$ 和 $S_2^2$ 分别是这两个样本的样本方差。则统计量
     • $F=\frac{(n - 1)S_1^2/\sigma_1^2}{(m - 1)S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n - 1,m - 1)$，其中 $F(n - 1,m - 1)$ 表示自由度为 $(n - 1,m - 1)$ 的 $F$ 分布。
2. 然后根据题目所给信息确定各参数的值：
   • 已知 $X_1,\cdots,X_{10}$ 是来自正态总体 $N(1,2)$ 的样本，所以 $n = 10$，$\sigma_1^2=2$；$Y_1,\cdots,Y_{20}$ 是来自正态总体 $N(0,3)$ 的样本，所以 $m = 20$，$\sigma_2^2=3$。
3. 接着将参数值代入 $F$ 分布的统计量公式：
   • 把 $n = 10$，$m = 20$，$\sigma_1^2=2$，$\sigma_2^2=3$ 代入 $F=\frac{(n - 1)S_1^2/\sigma_1^2}{(m - 1)S_2^2/\sigma_2^2}$ 中，可得
     • $F=\frac{(10 - 1)S_1^2/2}{(20 - 1)S_2^2/3}$。
   • 先计算分子分母：
     • 分子为 $\frac{9S_1^2}{2}$，分母为 $\frac{19S_2^2}{3}$。
   • 则 $F=\frac{\frac{9S_1^2}{2}}{\frac{19S_2^2}{3}}$，根据除法运算法则，除以一个数等于乘以它的倒数，即 $F=\frac{9S_1^2}{2}\times\frac{3}{19S_2^2}=\frac{27S_1^2}{38S_2^2}$。
   • 这里需要注意的是，在 $F$ 分布中，分子自由度为 $n - 1=9$，分母自由度为 $m - 1 = 19$，所以该统计量服从 $F(9,19)$ 分布。
4. 最后分析选项：
   • 选项 A：$\frac{2S_2^2}{3S_1^2}$ 与我们计算出的 $\frac{27S_1^2}{38S_2^2}$ 形式不同，不服从 $F(9,19)$ 分布。
   • 选项 B：$\frac{3S_1^2}{2S_2^2}$ 与 $\frac{27S_1^2}{38S_2^2}$ 成比例（比例系数为常数），因为 $F$ 分布的性质，若 $F_1\sim F(n_1,n_2)$，$k$ 为非零常数，则 $kF_1$ 也服从 $F(n_1,n_2)$ 分布，所以 $\frac{3S_1^2}{2S_2^2}$ 服从 $F(9,19)$ 分布。