一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的.有一只鸟自开-|||-着的窗子飞入了房间,它只能从开着的 窗 子飞出去.鸟在房子里飞来飞去,试图-|||-飞出房间.假定鸟是没有记忆的,它飞向各扇窗子是随机的.-|||-(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X的分布律.-|||-(2)户主声称,他养的一只鸟是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一-|||-次.以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数.如户主所说是确实的,试.-|||-求Y的分布律.-|||-(3)求试飞次数X小于Y的概率和试飞次数Y小于X的概率.

1. 问题（1）：考查几何分布的应用。鸟每次试飞独立，成功概率固定，需计算首次成功所需试验次数的分布。
2. 问题（2）：考查排列组合与等可能性。鸟有记忆，试飞不重复，需穷举有限可能情况。
3. 问题（3）：需结合独立事件的联合概率，通过枚举法计算两个随机变量的大小关系概率。

第（1）题

分析试飞过程

鸟每次试飞独立，成功概率为$\frac{1}{3}$，失败概率为$\frac{2}{3}$。试飞次数$X$服从几何分布：
$P\{X=k\} = \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{3}, \quad k=1,2,\ldots$

第（2）题

可能取值分析

$Y$的可能取值为$1,2,3$：

• $Y=1$：第一次直接选对，概率$\frac{1}{3}$。
• $Y=2$：第一次选错（概率$\frac{2}{3}$），第二次从剩余两扇中选对（概率$\frac{1}{2}$），总概率$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$。
• $Y=3$：前两次均选错，第三次必然选对，概率$\frac{1}{3}$。

第（3）题

计算$P\{X < Y\}$

分解为互斥事件：

• $X=1$且$Y=2$或$3$：概率$\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{9}$。
• $X=2$且$Y=3$：概率$\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27}$。
  总概率：
  $P\{X < Y\} = \frac{2}{9} + \frac{2}{27} = \frac{8}{27}$

计算$P\{Y < X\}$

利用对称性：
$P\{Y < X\} = 1 - P\{X < Y\} - P\{X = Y\}$
其中$P\{X = Y\}$为各点概率之和：
$\sum_{k=1}^{3} P\{X=k\}P\{Y=k\} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{3} + \frac{4}{27} \cdot \frac{1}{3} = \frac{17}{81}$
最终：
$P\{Y < X\} = 1 - \frac{8}{27} - \frac{17}{81} = \frac{38}{81}$