题目
曲线 y = ln x, y = ln a, y = ln b (0 A. int_(ln a)^ln b ln x , dxB. int_(e^a)^e^b e^x , dxC. int_(ln a)^ln b e^y , dyD. int_(e^a)^e^b ln x , dx
曲线 $y = \ln x, y = \ln a, y = \ln b (0 < a < b)$ 与 $y$ 轴所围成图形的面积为 $A$，则 $A = (\quad)$.
A. $\int_{\ln a}^{\ln b} \ln x \, dx$
B. $\int_{e^a}^{e^b} e^x \, dx$
C. $\int_{\ln a}^{\ln b} e^y \, dy$
D. $\int_{e^a}^{e^b} \ln x \, dx$
题目解答
答案
C. $\int_{\ln a}^{\ln b} e^y \, dy$
解析
考查要点：本题主要考查定积分在几何中的应用，特别是利用积分求平面图形的面积。关键在于正确选择积分变量并确定积分上下限。
解题思路：
- 图形定位：明确曲线 $y = \ln x$ 与水平直线 $y = \ln a$、$y = \ln b$ 以及 $y$ 轴围成的区域形状。
- 变量选择：由于积分上下限由 $y$ 值确定（$\ln a$ 到 $\ln b$），选择 $y$ 作为积分变量 更为简便。
- 积分表达式：每个水平条带的宽度为 $x = e^y$（由 $y = \ln x$ 变形得到），高度为 $dy$，面积元素为 $e^y \, dy$。
破题关键：将 $y = \ln x$ 转换为 $x = e^y$，并正确表示水平条带的宽度。
步骤1：确定积分变量与积分区间
- 曲线 $y = \ln x$ 与 $y = \ln a$、$y = \ln b$ 的交点分别为 $(a, \ln a)$ 和 $(b, \ln b)$。
- 图形在 $y$ 轴右侧，积分区间为 $y$ 从 $\ln a$ 到 $\ln b$。
步骤2：表达水平条带的宽度
- 对于每个 $y$，水平条带的左边界为 $y$ 轴（$x = 0$），右边界为 $x = e^y$（由 $y = \ln x$ 变形得）。
- 宽度为 $e^y - 0 = e^y$。
步骤3：建立积分表达式
- 面积元素为宽度乘以高度：$dA = e^y \, dy$。
- 积分区间为 $y$ 从 $\ln a$ 到 $\ln b$，故面积为：
$A = \int_{\ln a}^{\ln b} e^y \, dy$
选项分析
- 选项C 正确对应上述积分表达式。
- 其他选项错误原因：
- A：积分变量与上下限不匹配（$x$ 的积分上下限应为 $y$ 值）。
- B、D：积分函数或变量选择错误。