下列陈述中,哪些是对的,哪些是错的?如果是对的,说明理由;如果是错的,试-|||-给出一个反例.-|||-(1)如果lim f(x )存在,但limg(x)不存在,那么 lim _(xarrow {x)_(0)}[ f(x)+g(x)] 不存在;-|||-(2)如果lim f(x )和lim g(x)都不存在,那么 lim _(xarrow {x)_(0)}[ f(x)+g(x)] 不存在;-|||-(3)如果lim f(x )存在,但limg(x )不存在,那么lim f(x )·g(x)不存在.

考查要点：极限的运算性质及存在性判断。
解题思路：

1. 极限的线性性质：若$\lim f(x)$存在，$\lim [f(x)+g(x)]$存在，则$\lim g(x)$必然存在。
2. 反例构造：当两个函数的极限均不存在时，它们的和可能存在；当一个函数的极限存在但另一个不存在时，它们的乘积可能仍存在。
   关键点：

• 反证法用于判断（1）的正确性；
• 具体函数构造反例用于判断（2）和（3）的错误性。

第（1）题

结论：正确。
证明：
假设$\lim_{x \to x_0} [f(x)+g(x)]$存在，则根据极限的线性性质：
$\lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} [f(x)+g(x)] - \lim_{x \to x_0} f(x)$
这与已知“$\lim_{x \to x_0} g(x)$不存在”矛盾，故原命题成立。

第（2）题

结论：错误。
反例：
取$f(x) = \text{sgn}(x)$，$g(x) = -\text{sgn}(x)$，当$x \to 0$时：

• $\lim_{x \to 0} f(x)$不存在（左右极限分别为$1$和$-1$）；
• $\lim_{x \to 0} g(x)$同理不存在；
• 但$f(x)+g(x) = 0$，故$\lim_{x \to 0} [f(x)+g(x)] = 0$存在。

第（3）题

结论：错误。
反例：
取$f(x) = x$，$g(x) = \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$，当$x \to 0$时：

• $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$存在；
• $\lim_{x \to 0} g(x)$不存在（振荡无极限）；
• 但$f(x) \cdot g(x) = x \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$，其绝对值不超过$|x|$，故$\lim_{x \to 0} x \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0$存在。