题目

12. 求圆盘((x-2))^2+(y)^2leqslant 1绕y轴旋转而成的旋转体的体积。

12. 求圆盘 $\left(x-2\right)^2+y^2\le1$ 绕y轴旋转而成的旋转体的体积。

题目解答

由题意可知，

根据对称性，所求旋转体体积是上半圆盘绕y轴旋转所成的旋转体体积V1的2倍，因此，

$V=2\left(\int_0^1\pi x_2^2\left(y\right)dy-\int_0^1\pi x_1^2\left(y\right)dy\right)$

于是，可将上式计算得：

$2\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(2+\cos t\right)^2\cos tdt-2\pi\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}\left(2+\cos t\right)^2\cos tdt$

再进行化简可计算出：

$2\pi\int_0^{\pi}\left(2+\cos t\right)^2\cos tdt=4\pi^2$

因此，旋转体的体积为 $4\pi^2$