题目
求非齐次线性方程组的通解,六、求非齐次线性方程组 ) (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=2 2(x)_(1)+3(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=1 (x)_(1)+2(x)_(3)+2(x)_(4)=5 . 的通解。
求非齐次线性方程组的通解,
题目解答
答案
最佳答案 【重点评注】
非齐次线性方程组Ax=b的求解方法：
1、对增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形矩阵；
2、求出导出组Ax=0的一个基础解系；
3、求非齐次线性方程组Ax=b的一个特解(为简捷,可令自由变量全为0)
4、按解的结构 ξ(特解)+k1a1+k2a2+…+krar(基础解系) 写出通解.
注意：当方程组中含有参数时,分析讨论要严谨不要丢情况,此时的特解往往比较繁.
【分析】
按照非齐次线性方程组的求解方法一步一步来解答
对增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形
1 1 1 1 2
0 1 -1 -1 -3
0 0 0 0 0
r(A)=2,基础解系的解向量有4-2=2个
令x3=1,x4=0,得x1=-2,x2=1
令x3=0,x4=1,得x1=-2,x2=1
得到基础解系a1=(-2,1,1,0)T a2=(-2,1,0,1)T
再求方程组的一个特解
令x3=x4=0,得x1=5,x2=-3 ξ=(5,-3,0,0)T
所以通解为 ξ+k1a1+k2a2,k1,k2为任意常数
newmanhero 2015年1月18日11:27:38
希望对你有所帮助,
非齐次线性方程组Ax=b的求解方法：
1、对增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形矩阵；
2、求出导出组Ax=0的一个基础解系；
3、求非齐次线性方程组Ax=b的一个特解(为简捷,可令自由变量全为0)
4、按解的结构 ξ(特解)+k1a1+k2a2+…+krar(基础解系) 写出通解.
注意：当方程组中含有参数时,分析讨论要严谨不要丢情况,此时的特解往往比较繁.
【分析】
按照非齐次线性方程组的求解方法一步一步来解答
对增广矩阵作初等行变换,化为阶梯形
1 1 1 1 2
0 1 -1 -1 -3
0 0 0 0 0
r(A)=2,基础解系的解向量有4-2=2个
令x3=1,x4=0,得x1=-2,x2=1
令x3=0,x4=1,得x1=-2,x2=1
得到基础解系a1=(-2,1,1,0)T a2=(-2,1,0,1)T
再求方程组的一个特解
令x3=x4=0,得x1=5,x2=-3 ξ=(5,-3,0,0)T
所以通解为 ξ+k1a1+k2a2,k1,k2为任意常数
newmanhero 2015年1月18日11:27:38
希望对你有所帮助,
解析
步骤 1：化简增广矩阵
首先，将非齐次线性方程组的增广矩阵化简为阶梯形矩阵。原方程组的增广矩阵为：
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 2 & 5
\end{array}\right]
$$
通过初等行变换，我们得到：
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & -1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
步骤 2：求导出组的基础解系
导出组为：
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
令$x_3=1, x_4=0$，解得$x_1=-2, x_2=1$，得到基础解系向量$a_1=(-2,1,1,0)^T$。
令$x_3=0, x_4=1$，解得$x_1=-2, x_2=1$，得到基础解系向量$a_2=(-2,1,0,1)^T$。
步骤 3：求非齐次线性方程组的特解
令$x_3=x_4=0$，解得$x_1=5, x_2=-3$，得到特解$\xi=(5,-3,0,0)^T$。
步骤 4：写出通解
根据解的结构，通解为$\xi+k_1a_1+k_2a_2$，其中$k_1, k_2$为任意常数。
首先，将非齐次线性方程组的增广矩阵化简为阶梯形矩阵。原方程组的增广矩阵为：
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 2 & 5
\end{array}\right]
$$
通过初等行变换，我们得到：
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & -1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
步骤 2：求导出组的基础解系
导出组为：
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
令$x_3=1, x_4=0$，解得$x_1=-2, x_2=1$，得到基础解系向量$a_1=(-2,1,1,0)^T$。
令$x_3=0, x_4=1$，解得$x_1=-2, x_2=1$，得到基础解系向量$a_2=(-2,1,0,1)^T$。
步骤 3：求非齐次线性方程组的特解
令$x_3=x_4=0$，解得$x_1=5, x_2=-3$，得到特解$\xi=(5,-3,0,0)^T$。
步骤 4：写出通解
根据解的结构，通解为$\xi+k_1a_1+k_2a_2$，其中$k_1, k_2$为任意常数。