题目
设f(x)的定义域D=[0,1]，求下列各函数的定义域：（1）f(x^2)（2）f(sinx)（3）f(x+a)(a>0)（4）f(x+a)+f(x-a)(a>0).
设$f(x)$的定义域$D=[0,1]$，求下列各函数的定义域：
（1）$f(x^2)$
（2）$f(sinx)$
（3）$f(x+a)$$(a>0)$
（4）$f(x+a)$$+f(x-a)$$(a>0)$
.题目解答
答案
设$f(x)$的定义域$D=[0,1]$，
（1）$x^2in[0,1]$，则$xin[-1,1]$，$f(x^2)$的定义域是$[-1,1]$
（2）$sinxin[0,1]$，则$xin[2kpi,2kpi+pi]$，$kin Z$，$f(sinx)$的定义域是$[2kpi,2kpi+pi]$，$kin Z$
（3）$x+ain[0,1]$，则$xin[-a,1-a]$，则$f(x+a)$$(a>0)$的定义域是$[-a,1-a]$
（4）$cases { x+ain[0,1]cr x-ain[0,1]cr} $，则$cases { -aleqslant xleqslant 1-acr aleqslant xleqslant 1+acr} $，$a=frac{1}{2}$时，定义域是${frac{1}{2}}$，$0
解析
步骤 1：求$f(x^2)$的定义域
$f(x)$的定义域为$D=[0,1]$，即$xin[0,1]$。对于$f(x^2)$，我们需要$x^2$的值域在$[0,1]$内。因此，$xin[-1,1]$，因为$(-1)^2=1$，$1^2=1$，且$0^2=0$。所以，$f(x^2)$的定义域是$[-1,1]$。
步骤 2：求$f(sinx)$的定义域
$f(x)$的定义域为$D=[0,1]$，即$xin[0,1]$。对于$f(sinx)$，我们需要$sinx$的值域在$[0,1]$内。$sinx$的值域为$[-1,1]$，但我们需要的是$sinx$在$[0,1]$内的值。$sinx$在$[0,1]$内的值域对应$x$的取值范围是$[2kpi,2kpi+pi]$，$kin Z$。所以，$f(sinx)$的定义域是$[2kpi,2kpi+pi]$，$kin Z$。
步骤 3：求$f(x+a)$的定义域
$f(x)$的定义域为$D=[0,1]$，即$xin[0,1]$。对于$f(x+a)$，我们需要$x+a$的值域在$[0,1]$内。因此，$xin[-a,1-a]$。所以，$f(x+a)$的定义域是$[-a,1-a]$。
步骤 4：求$f(x+a)+f(x-a)$的定义域
$f(x)$的定义域为$D=[0,1]$，即$xin[0,1]$。对于$f(x+a)+f(x-a)$，我们需要$x+a$和$x-a$的值域都在$[0,1]$内。因此，$cases { -aleqslant xleqslant 1-acr aleqslant xleqslant 1+acr} $。当$a=frac{1}{2}$时，定义域是${frac{1}{2}}$；当$0frac{1}{2}$时，定义域是$varnothing$。
$f(x)$的定义域为$D=[0,1]$，即$xin[0,1]$。对于$f(x^2)$，我们需要$x^2$的值域在$[0,1]$内。因此，$xin[-1,1]$，因为$(-1)^2=1$，$1^2=1$，且$0^2=0$。所以，$f(x^2)$的定义域是$[-1,1]$。
步骤 2：求$f(sinx)$的定义域
$f(x)$的定义域为$D=[0,1]$，即$xin[0,1]$。对于$f(sinx)$，我们需要$sinx$的值域在$[0,1]$内。$sinx$的值域为$[-1,1]$，但我们需要的是$sinx$在$[0,1]$内的值。$sinx$在$[0,1]$内的值域对应$x$的取值范围是$[2kpi,2kpi+pi]$，$kin Z$。所以，$f(sinx)$的定义域是$[2kpi,2kpi+pi]$，$kin Z$。
步骤 3：求$f(x+a)$的定义域
$f(x)$的定义域为$D=[0,1]$，即$xin[0,1]$。对于$f(x+a)$，我们需要$x+a$的值域在$[0,1]$内。因此，$xin[-a,1-a]$。所以，$f(x+a)$的定义域是$[-a,1-a]$。
步骤 4：求$f(x+a)+f(x-a)$的定义域
$f(x)$的定义域为$D=[0,1]$，即$xin[0,1]$。对于$f(x+a)+f(x-a)$，我们需要$x+a$和$x-a$的值域都在$[0,1]$内。因此，$cases { -aleqslant xleqslant 1-acr aleqslant xleqslant 1+acr} $。当$a=frac{1}{2}$时，定义域是${frac{1}{2}}$；当$0frac{1}{2}$时，定义域是$varnothing$。