题目
lim _(xarrow 1)dfrac (sin pi x)(x-1);-|||-__
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理$\frac{0}{0}$型不定式的能力，需要灵活运用变量替换或洛必达法则。
解题核心思路：
当$x \rightarrow 1$时，分子$\sin \pi x$趋近于$\sin \pi = 0$，分母$x-1$趋近于$0$，因此属于$\frac{0}{0}$型不定式。此时可通过以下两种方法求解：
- 变量替换：令$t = x - 1$，将极限转化为关于$t$的表达式，利用三角恒等式和等价无穷小替换简化计算。
- 洛必达法则：对分子和分母分别求导，直接计算极限。
破题关键点：
- 变量替换后，分子可展开为$-\sin \pi t$，利用$\sin \pi t \sim \pi t$（当$t \rightarrow 0$）简化计算。
- 洛必达法则的应用需注意导数的正确性，分子导数为$\pi \cos \pi x$，分母导数为$1$。
方法一：变量替换法
- 令$t = x - 1$，则当$x \rightarrow 1$时，$t \rightarrow 0$，且$x = t + 1$。
- 分子变形：
$\sin \pi x = \sin [\pi (t + 1)] = \sin (\pi t + \pi) = -\sin \pi t$
（利用$\sin(a + \pi) = -\sin a$） - 代入原式：
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{-\sin \pi t}{t}$ - 等价无穷小替换：
当$t \rightarrow 0$时，$\sin \pi t \sim \pi t$，因此：
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{-\pi t}{t} = -\pi$
方法二：洛必达法则
- 验证条件：分子$\sin \pi x$和分母$x-1$在$x \rightarrow 1$时均趋近于$0$，满足$\frac{0}{0}$型。
- 求导分子和分母：
- 分子导数：$\frac{d}{dx} (\sin \pi x) = \pi \cos \pi x$
- 分母导数：$\frac{d}{dx} (x - 1) = 1$
- 应用洛必达法则：
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{1} = \pi \cos \pi = \pi \cdot (-1) = -\pi$