题目

设A、B、C是三个相互独立的随机事件，且0＜P（C）＜1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（　　） A. . A+B 与C B. . AC 与 . C C. . A−B 与C D. . AB 与 . C

设A、B、C是三个相互独立的随机事件，且0＜P（C）＜1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（　　）
A.
.
A+B
与C
B.
.
AC
与
.
C

C.
.
A−B
与C
D.
.
AB
与
.
C

题目解答

答案

由于A，B，C是三个相互独立的随机事件，故其中任意两个事件的和、差、交、并、逆与另一个事件或其逆是相互独立的．
根据这一性质，选项（A）（C）（D）三项中的两事件是相互独立的，因而均为干扰项．
故选：B．

解析

步骤 1：理解事件的独立性
事件A、B、C相互独立意味着P(AB) = P(A)P(B)，P(AC) = P(A)P(C)，P(BC) = P(B)P(C)，以及P(ABC) = P(A)P(B)P(C)。

步骤 2：分析选项A
事件A+B与C的独立性。由于A、B、C相互独立，A+B与C的独立性可以通过P((A+B)C) = P(A+B)P(C)来验证。由于A、B、C相互独立，P((A+B)C) = P(AC) + P(BC) - P(ABC) = P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(A)P(B)P(C) = P(A+B)P(C)，所以A+B与C相互独立。

步骤 3：分析选项B
事件AC与
.
C
的独立性。由于
.
C
表示C的补事件，P(AC
.
C
) = P(AC)P(
.
C
)。由于A、C相互独立，P(AC) = P(A)P(C)，但
.
C
与C不是独立的，因为P(
.
C
) = 1 - P(C)，所以AC与
.
C
不相互独立。

步骤 4：分析选项C
事件A-B与C的独立性。由于A、B、C相互独立，A-B与C的独立性可以通过P((A-B)C) = P(A-B)P(C)来验证。由于A、B、C相互独立，P((A-B)C) = P(AC) - P(BC) = P(A)P(C) - P(B)P(C) = P(A-B)P(C)，所以A-B与C相互独立。

步骤 5：分析选项D
事件AB与
.
C
的独立性。由于A、B、C相互独立，AB与
.
C
的独立性可以通过P(AB
.
C
) = P(AB)P(
.
C
)来验证。由于A、B、C相互独立，P(AB
.
C
) = P(AB)P(
.
C
) = P(A)P(B)P(
.
C
)，所以AB与
.
C
相互独立。