3.在函数f(x)= |} 2x& x& -1& 1 -1& -x& 1& 2 3& 2& -x& 3 0& 0& 0& 1 | . 中x^3项的系数是 ()-|||-(A)0; (B) -1 ; (C)1; (D)2。

考查要点：本题主要考查行列式的展开方法，特别是四阶行列式中特定项（x³项）的系数求解。关键在于利用行列式的展开技巧简化计算，避免直接展开整个行列式。

解题核心思路：

1. 观察行列式结构：第四行除最后一个元素为1外，其余均为0，可优先按第四行展开，简化计算。
2. 代数余子式法：展开后得到一个三阶行列式，进一步分析其中x³项的系数。
3. 主对角线乘积主导：三阶行列式中x³项的系数由主对角线元素乘积决定，其他项的次数较低，无需考虑。

破题关键点：

• 按第四行展开：利用第四行的稀疏性简化四阶行列式为三阶行列式。
• 主对角线元素乘积：三阶行列式中x³项的系数仅由主对角线元素乘积贡献。

按第四行展开四阶行列式

原四阶行列式为：
$\begin{vmatrix} 2x & x & -1 & 1 \\ -1 & -x & 1 & 2 \\ 3 & 2 & -x & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
按第四行展开，仅最后一个元素1非零，对应代数余子式为：
$(-1)^{4+4} \cdot \begin{vmatrix} 2x & x & -1 \\ -1 & -x & 1 \\ 3 & 2 & -x \end{vmatrix}$
符号因子为正，因此原行列式等价于三阶行列式：
$\begin{vmatrix} 2x & x & -1 \\ -1 & -x & 1 \\ 3 & 2 & -x \end{vmatrix}$

分析三阶行列式中的x³项

三阶行列式展开后，最高次项x³由主对角线元素乘积决定：
$(2x) \cdot (-x) \cdot (-x) = 2x^3$
其他项（如副对角线或其他组合）的x次数均低于3。因此，x³项的系数为2。