6、把一些橙和柑分装入袋,如果每袋6个橙、5个柑,橙分完了还剩3个柑;如果每袋8个柑、6个橙,柑分 完了还剩18个橙.橙和柑一共有多少个?

考查要点：本题属于分组问题，需要根据两种不同的分装方式建立方程，求解橙和柑的数量。关键在于理解分装过程中袋数与剩余数量的关系。

解题核心思路：

1. 设定变量：设橙的数量为$x$，柑的数量为$y$。
2. 建立方程：
   • 第一种分装方式下，橙分完时柑剩余3个，袋数由橙的数量决定。
   • 第二种分装方式下，柑分完时橙剩余18个，袋数由柑的数量决定。
3. 联立方程：通过袋数的关联关系，建立两个方程并求解。

破题关键点：

• 袋数的统一：两种分装方式的袋数不同，需通过变量表达袋数。
• 剩余数量的处理：剩余的柑或橙需体现在方程中。

设定变量

设橙的数量为$x$，柑的数量为$y$。

第一种分装方式

• 每袋装6个橙，分完橙的袋数为$\dfrac{x}{6}$。
• 每袋装5个柑，分完后剩余3个柑，因此柑的总数为$5 \times \dfrac{x}{6} + 3$。
• 方程：
  $y = \dfrac{5x}{6} + 3 \quad \text{(1)}$

第二种分装方式

• 每袋装8个柑，分完柑的袋数为$\dfrac{y}{8}$。
• 每袋装6个橙，分完后剩余18个橙，因此橙的总数为$6 \times \dfrac{y}{8} + 18$。
• 方程：
  $x = \dfrac{6y}{8} + 18 \quad \text{(2)}$

联立方程求解

1. 整理方程：

   • 方程(1)：$6y = 5x + 18$ → $5x - 6y = -18$
   • 方程(2)：$8x = 6y + 144$ → $4x - 3y = 72$

2. 消元法：

   • 将第二个方程乘以2：$8x - 6y = 144$
   • 减去第一个方程：$(8x - 6y) - (5x - 6y) = 144 - (-18)$
   • 得：$3x = 162$ → $x = 54$

3. 代入求$y$：

   • 代入$x = 54$到$4x - 3y = 72$：
     $4 \times 54 - 3y = 72$ → $216 - 3y = 72$ → $y = 48$