题目

2.设随机变量X服从正态分布N(μ，σ²)，则概率P | X-μ | geq 4σ=(1)/(4)().√×

2.设随机变量X服从正态分布N(μ，σ²)，则概率 $P\left\{\left | X-μ \right | \geq 4σ\right\}=\frac{1}{4}()$. √ ×

题目解答

答案

为了确定概率 $ P\left\{\left | X-\mu \right | \geq 4\sigma\right\} $ 对于服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ 的随机变量 $ X $，我们可以使用正态分布的性质和标准正态分布表。 首先，我们通过定义一个新的随机变量 $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $ 来标准化 $ X $。随机变量 $ Z $ 服从标准正态分布 $ N(0, 1) $。概率 $ P\left\{\left | X-\mu \right | \geq 4\sigma\right\} $ 可以用 $ Z $ 的形式重写为： \[ P\left\{\left | X-\mu \right | \geq 4\sigma\right\} = P\left\{\left | Z \right | \geq 4\right\}. \] 这可以进一步分解为： \[ P\left\{\left | Z \right | \geq 4\right\} = P\left\{Z \geq 4\right\} + P\left\{Z \leq -4\right\}. \] 由于标准正态分布关于零对称，我们有 $ P\left\{Z \leq -4\right\} = P\left\{Z \geq 4\right\} $。因此，概率变为： \[ P\left\{\left | Z \right | \geq 4\right\} = 2P\left\{Z \geq 4\right\}. \] 接下来，我们需要找到 $ P\left\{Z \geq 4\right\} $。使用标准正态分布表或计算器，我们发现： \[ P\left\{Z \geq 4\right\} \approx 0.0000317. \] 因此， \[ P\left\{\left | Z \right | \geq 4\right\} \approx 2 \times 0.0000317 = 0.0000634. \] 这个值非常小，明显小于 $ \frac{1}{4} = 0.25 $。因此，陈述 $ P\left\{\left | X-\mu \right | \geq 4\sigma\right\} = \frac{1}{4} $ 是错误的。 答案是： \[ \boxed{\text{×}} \]

解析

本题考查正态分布的标准化以及概率计算。解题思路是先将服从一般正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$的随机变量$X$通过标准化变换转化为服从标准正态分布$N(0,1)$的随机变量$Z$，然后利用标准正态分布的性质和标准正态分布表来计算概率$P\{|X - \mu| \geq 4\sigma\}$，最后将计算结果与$\frac{1}{4}$比较判断对错。

  1. 标准化随机变量：
    已知随机变量$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，定义新的随机变量$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，根据正态分布的标准化性质，$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$。
    对于概率$P\{|X - \mu| \geq 4\sigma\}$，将$X - \mu = Z\sigma$代入可得：
    $P\{|X - \mu| \geq 4\sigma\}=P\{|Z\sigma| \geq 4\sigma\}$
    因为$\sigma>0$，两边同时除以$\sigma$，得到$P\{|Z| \geq 4\}$。
  2. 分解概率：
    根据绝对值不等式的性质，$|Z| \geq 4$等价于$Z \geq 4$或$Z \leq - 4$，且这两个事件互斥，所以$P\{|Z| \geq 4\}=P\{Z \geq 4\}+P\{Z \leq - 4\}$。
    由于标准正态分布$N(0,1)$的概率密度函数关于$y$轴对称，所以$P\{Z \leq - 4\}=P\{Z \geq 4\}$，则$P\{|Z| \geq 4\}=2P\{Z \geq 4\}$。
  3. 计算$P\{Z \geq 4\}$：
    使用标准正态分布表或计算器，可查得$P\{Z \geq 4\} \approx 0.0000317$。
  4. 计算$P\{|Z| \geq 4\}$：
    将$P\{Z \geq 4\} \approx 0.0000317$代入$P\{|Z| \geq 4\}=2P\{Z \geq 4\}$，可得$P\{|Z| \geq 4\} \approx 2\times0.0000317 = 0.0000634$。
  5. 比较概率大小：
    因为$\frac{1}{4}=0.25$，而$0.0000634<0.25$，所以$P\{|X - \mu| \geq 4\sigma\} \neq \frac{1}{4}$，原陈述错误。