讨论函数(x)=lim _(narrow infty )dfrac (1-{x)^2n}(1+{x)^2n}x的连续性，若有间断点，判别其类型 .

考查要点：本题主要考查函数极限的计算、分段函数的连续性判断以及间断点类型的判定。

解题核心思路：

1. 分情况讨论：根据$x$的不同取值范围（$|x| < 1$、$|x| > 1$、$|x| = 1$），分别计算极限表达式$\dfrac{1 - x^{2n}}{1 + x^{2n}}$的值。
2. 确定分段表达式：结合极限结果与$x$，得到函数$f(x)$的分段形式。
3. 连续性分析：在分段点$x = \pm 1$处，计算左右极限并与函数值比较，判断是否存在间断点及其类型。

破题关键点：

• 极限计算：利用$|x| < 1$时$x^{2n} \to 0$，$|x| > 1$时$x^{2n} \to +\infty$的性质简化分式。
• 分段点分析：特别关注$x = \pm 1$处的左右极限与函数值的关系。

步骤1：分情况讨论极限表达式

1. 当$|x| < 1$时：
   $x^{2n} \to 0$，分式$\dfrac{1 - x^{2n}}{1 + x^{2n}} \to \dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1$，故$f(x) = 1 \cdot x = x$。

2. 当$|x| > 1$时：
   $x^{2n} \to +\infty$，分式可变形为$\dfrac{\frac{1}{x^{2n}} - 1}{\frac{1}{x^{2n}} + 1} \to \dfrac{0 - 1}{0 + 1} = -1$，故$f(x) = -1 \cdot x = -x$。

3. 当$|x| = 1$时：

   • 若$x = 1$或$x = -1$，则$x^{2n} = 1$，分式$\dfrac{1 - 1}{1 + 1} = 0$，故$f(x) = 0 \cdot x = 0$。

步骤2：分析连续性

• 在$|x| < 1$和$|x| > 1$区间内：
  $f(x)$分别由$x$和$-x$表示，均为连续函数，故无间断点。

• 在$x = 1$处：

  • 左极限（$x \to 1^-$）：$f(x) = x \to 1$。
  • 右极限（$x \to 1^+$）：$f(x) = -x \to -1$。
  • 函数值：$f(1) = 0$。
    左右极限存在但不相等，且均不等于$f(1)$，故$x = 1$为跳跃间断点。

• 在$x = -1$处：

  • 右极限（$x \to -1^+$）：$f(x) = x \to -1$。
  • 左极限（$x \to -1^-$）：$f(x) = -x \to 1$。
  • 函数值：$f(-1) = 0$。
    左右极限存在但不相等，且均不等于$f(-1)$，故$x = -1$为跳跃间断点。