4.(单选题，5分) 设A,B都是n阶方阵，则下列结论正确的是（）. A. 若A和B都是对称阵，则AB也是对称阵； B. 若Aneq O，Bneq O，则ABneq O； C. 若AB是奇异矩阵，则A和B都是奇异矩阵； D. 若AB是可逆矩阵，则A和B都是可逆矩阵.

本题主要考查方阵的对称性、矩阵乘法、奇异矩阵和可逆矩阵的相关知识。解题思路是根据各选项所涉及的矩阵性质，逐一分析每个选项的正确性。

• 选项A：
  • 首先明确对称阵的定义，若矩阵$A$是对称阵，则$A^T = A$；若矩阵$B$是对称阵，则$B^T = B$。
  • 然后根据矩阵转置的性质$(AB)^T = B^T A^T$，将$A^T = A$，$B^T = B$代入可得$(AB)^T = BA$。
  • 但是在矩阵乘法中，一般情况下$AB$不一定等于$BA$，所以仅当$AB = BA$时，$AB$才是对称阵，故选项A不正确。
• 选项B：
  • 要判断非零矩阵的乘积是否一定为非零矩阵，可通过举反例来验证。
  • 设$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，显然$A\neq O$，$B\neq O$。
  • 计算$AB$，根据矩阵乘法规则：
    $AB=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times0 + 0\times0&1\times0 + 0\times1\\0\times0 + 0\times0&0\times0 + 0\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=O$
  • 这说明非零矩阵的乘积可能为零矩阵，故选项B不正确。
• 选项C：
  • 已知奇异矩阵的定义为行列式为$0$的矩阵，若$AB$是奇异矩阵，则$\det(AB) = 0$。
  • 根据行列式的性质$\det(AB) = \det(A) \det(B)$，所以$\det(A) \det(B) = 0$。
  • 由乘法的性质可知，只要$\det(A)$或$\det(B)$其中一个为$0$，乘积就为$0$，并不需要$\det(A)$和$\det(B)$都为$0$，即$A$和$B$不一定都是奇异矩阵，故选项C不正确。
• 选项D：
  • 若$AB$是可逆矩阵，则$\det(AB) \neq 0$。
  • 同样根据行列式的性质$\det(AB) = \det(A) \det(B)$，可得$\det(A) \det(B) \neq 0$。
  • 因为两个数的乘积不为$0$，则这两个数都不为$0$，所以$\det(A) \neq 0$且$\det(B) \neq 0$。
  • 根据可逆矩阵的定义，行列式不为$0$的矩阵是可逆矩阵，所以$A$和$B$都是可逆矩阵，故选项D正确。