22.设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为-|||-_(x)(x)= ) 1, 0leqslant xleqslant 1 0, 其他, .-|||-, ,-|||-求随机变量 =X+Y 的概率密度.

考查要点：本题主要考查两个独立随机变量和的卷积公式应用，需要根据变量的取值范围分段讨论积分区间。

解题核心思路：

1. 独立随机变量的卷积公式：利用$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx$，结合X和Y的定义域确定积分上下限。
2. 分段讨论：根据$z$的不同取值范围（$z < 0$，$0 \leq z < 1$，$z \geq 1$），分析$x$的合法取值范围，从而确定积分区间。
3. 指数函数积分：对含$e^{-y}$的积分进行计算，注意代数变形和积分结果的化简。

破题关键点：

• X的取值范围：$0 \leq x \leq 1$，限制$x$的积分下限和上限。
• Y的取值范围：$y > 0$，即$z - x > 0$，进一步限制$x < z$。
• 分段条件：当$z < 1$时，$x$的上限由$z$决定；当$z \geq 1$时，$x$的上限由$1$决定。

步骤1：确定积分区间

根据$X$和$Y$的定义域，$x$需满足：

1. $0 \leq x \leq 1$（来自$f_X(x)$的非零区域）；
2. $z - x > 0$（来自$f_Y(z-x)$的非零区域），即$x < z$。

因此，积分区间需分情况讨论：

• 当$z < 0$时：无解，$f_Z(z) = 0$；
• 当$0 \leq z < 1$时：$x$的范围是$0 \leq x \leq z$；
• 当$z \geq 1$时：$x$的范围是$0 \leq x \leq 1$。

步骤2：分段计算积分

情况1：$0 \leq z < 1$

积分区间为$0 \leq x \leq z$：
$\begin{aligned}f_Z(z) &= \int_{0}^{z} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx \\&= \int_{0}^{z} 1 \cdot e^{-(z-x)} \, dx \\&= e^{-z} \int_{0}^{z} e^{x} \, dx \\&= e^{-z} \left( e^{z} - 1 \right) \\&= 1 - e^{-z}.\end{aligned}$

情况2：$z \geq 1$

积分区间为$0 \leq x \leq 1$：
$\begin{aligned}f_Z(z) &= \int_{0}^{1} 1 \cdot e^{-(z-x)} \, dx \\&= e^{-z} \int_{0}^{1} e^{x} \, dx \\&= e^{-z} \left( e^{1} - 1 \right) \\&= (e - 1) e^{-z}.\end{aligned}$

情况3：$z < 0$

显然无解，$f_Z(z) = 0$。