设事件A在每次试验发生的概率为0.3.A发生不少于3次时,指示灯-|||-发出信号.-|||-(1)进行了5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率.-|||-(2)进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率.

考查要点：本题主要考查二项分布的概率计算，涉及累积概率的求解方法。

解题核心思路：
当事件A在n次独立试验中发生次数X服从二项分布$X \sim B(n, p)$时，求指示灯发出信号的概率（即$P(X \geq 3)$），可通过以下步骤解决：

1. 明确目标：计算$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)$。
2. 分步计算：分别求出$P(X=0)$、$P(X=1)$、$P(X=2)$，再求和后用1减去。
3. 代入公式：利用二项分布概率公式$P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}$。

破题关键点：

• 正确应用二项分布公式，注意组合数$C(n,k)$的计算。
• 避免直接计算高次项，通过补集简化计算（如$1 - P(X \leq 2)$）。

第（1）题

设在5次试验中事件A发生的次数为$X$，则$X \sim B(5, 0.3)$。
指示灯发出信号的概率为$P(X \geq 3)$，计算步骤如下：

计算$P(X=0)$、$P(X=1)$、$P(X=2)$

1. $P(X=0)$：
   $C(5,0) \cdot 0.3^0 \cdot 0.7^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.16807 = 0.16807$
2. $P(X=1)$：
   $C(5,1) \cdot 0.3^1 \cdot 0.7^4 = 5 \cdot 0.3 \cdot 0.2401 = 0.36015$
3. $P(X=2)$：
   $C(5,2) \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^3 = 10 \cdot 0.09 \cdot 0.343 = 0.3087$

求和并计算补集

$P(X \leq 2) = 0.16807 + 0.36015 + 0.3087 = 0.83692$
$P(X \geq 3) = 1 - 0.83692 = 0.16308$

第（2）题

设在7次试验中事件A发生的次数为$Y$，则$Y \sim B(7, 0.3)$。
指示灯发出信号的概率为$P(Y \geq 3)$，计算步骤如下：

计算$P(Y=0)$、$P(Y=1)$、$P(Y=2)$

1. $P(Y=0)$：
   $C(7,0) \cdot 0.3^0 \cdot 0.7^7 = 1 \cdot 1 \cdot 0.0823543 = 0.0823543$
2. $P(Y=1)$：
   $C(7,1) \cdot 0.3^1 \cdot 0.7^6 = 7 \cdot 0.3 \cdot 0.117649 = 0.2470629$
3. $P(Y=2)$：
   $C(7,2) \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^5 = 21 \cdot 0.09 \cdot 0.16807 = 0.3176523$

求和并计算补集

$P(Y \leq 2) = 0.0823543 + 0.2470629 + 0.3176523 = 0.6470695$
$P(Y \geq 3) = 1 - 0.6470695 = 0.3529305 \approx 0.353$