题目
（附加题）（Ⅰ）过曲线y=x2（x≥0）上某一点A作一切线l，使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为(1)/(12)，试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线l的方程；（3）上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
（附加题）（Ⅰ）过曲线y=x2（x≥0）上某一点A作一切线l，使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为$\frac{1}{12}$，试求：
（1）切点A的坐标；
（2）过切点A的切线l的方程；
（3）上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
（1）切点A的坐标；
（2）过切点A的切线l的方程；
（3）上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
题目解答
答案
解：（1）设点A的坐标为（a，a2），过点A的切线的斜率为k=y'|x=a=2a，
故过点A的切线l的方程为y-a2=2a（x-a），
即y=2ax-a2，令y=0，得$x=\frac{a}{2}$，
则${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•\frac{a}{2}•{a^2}=\frac{a^3}{4}$，${S_{△ABO}}=∫_0^a{x^2}dx=\frac{x^3}{3}|_0^a=\frac{a^3}{3}$，
∴$S={S_{△ABO}}={S_{△ABC}}=\frac{a^3}{12}=\frac{1}{12}$
∴a=1
或解：$S=∫_0^{a^2}{[\frac{1}{2}}a+\frac{y}{2a}-\sqrt{y}]dy=（\frac{1}{2}ay+\frac{y^2}{4a}-\frac{2}{3}{y^{\frac{3}{2}}}）\left|\begin{array}{l}{a^2}\\ 0\end{array}\right.$=$\frac{1}{12}{a^3}=\frac{1}{12}$，
∴a=1
∴切点A的坐标为（1，1）（2）直线方程为y=2x-1
（3）l与x轴的交点为$（\frac{1}{2}，0）$，
故$V=π∫_0^1{x^4}dx-π∫_{\frac{1}{2}}^1{{{（2x-1）}^2}dx=\frac{1}{5}}π{x^5}\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.$$-\frac{1}{6}π{（2x-1）^3}\left|\begin{array}{l}1\\ \frac{1}{2}\end{array}\right.$=$\frac{1}{30}$π
故过点A的切线l的方程为y-a2=2a（x-a），
即y=2ax-a2，令y=0，得$x=\frac{a}{2}$，
则${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•\frac{a}{2}•{a^2}=\frac{a^3}{4}$，${S_{△ABO}}=∫_0^a{x^2}dx=\frac{x^3}{3}|_0^a=\frac{a^3}{3}$，
∴$S={S_{△ABO}}={S_{△ABC}}=\frac{a^3}{12}=\frac{1}{12}$
∴a=1
或解：$S=∫_0^{a^2}{[\frac{1}{2}}a+\frac{y}{2a}-\sqrt{y}]dy=（\frac{1}{2}ay+\frac{y^2}{4a}-\frac{2}{3}{y^{\frac{3}{2}}}）\left|\begin{array}{l}{a^2}\\ 0\end{array}\right.$=$\frac{1}{12}{a^3}=\frac{1}{12}$，
∴a=1
∴切点A的坐标为（1，1）（2）直线方程为y=2x-1
（3）l与x轴的交点为$（\frac{1}{2}，0）$，
故$V=π∫_0^1{x^4}dx-π∫_{\frac{1}{2}}^1{{{（2x-1）}^2}dx=\frac{1}{5}}π{x^5}\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.$$-\frac{1}{6}π{（2x-1）^3}\left|\begin{array}{l}1\\ \frac{1}{2}\end{array}\right.$=$\frac{1}{30}$π
解析
步骤 1：确定切点A的坐标
设点A的坐标为（a，a^{2}），过点A的切线的斜率为k=y'|_x=a=2a，故过点A的切线l的方程为y-a^{2}=2a（x-a），即y=2ax-a^{2}。令y=0，得$x=\frac{a}{2}$。则${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•\frac{a}{2}•{a^2}=\frac{a^3}{4}$，${S_{△ABO}}=∫_0^a{x^2}dx=\frac{x^3}{3}|_0^a=\frac{a^3}{3}$，所以$S={S_{△ABO}}-{S_{△ABC}}=\frac{a^3}{12}=\frac{1}{12}$，解得a=1。
步骤 2：求过切点A的切线l的方程
由步骤1知，切点A的坐标为（1，1），切线斜率为2，故切线方程为y=2x-1。
步骤 3：求旋转体的体积
l与x轴的交点为$（\frac{1}{2}，0）$，故$V=π∫_0^1{x^4}dx-π∫_{\frac{1}{2}}^1{{{（2x-1）}^2}dx}$，计算得$V=\frac{1}{5}π{x^5}\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.-\frac{1}{6}π{（2x-1）^3}\left|\begin{array}{l}1\\ \frac{1}{2}\end{array}\right.=\frac{1}{30}π$。
设点A的坐标为（a，a^{2}），过点A的切线的斜率为k=y'|_x=a=2a，故过点A的切线l的方程为y-a^{2}=2a（x-a），即y=2ax-a^{2}。令y=0，得$x=\frac{a}{2}$。则${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•\frac{a}{2}•{a^2}=\frac{a^3}{4}$，${S_{△ABO}}=∫_0^a{x^2}dx=\frac{x^3}{3}|_0^a=\frac{a^3}{3}$，所以$S={S_{△ABO}}-{S_{△ABC}}=\frac{a^3}{12}=\frac{1}{12}$，解得a=1。
步骤 2：求过切点A的切线l的方程
由步骤1知，切点A的坐标为（1，1），切线斜率为2，故切线方程为y=2x-1。
步骤 3：求旋转体的体积
l与x轴的交点为$（\frac{1}{2}，0）$，故$V=π∫_0^1{x^4}dx-π∫_{\frac{1}{2}}^1{{{（2x-1）}^2}dx}$，计算得$V=\frac{1}{5}π{x^5}\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.-\frac{1}{6}π{（2x-1）^3}\left|\begin{array}{l}1\\ \frac{1}{2}\end{array}\right.=\frac{1}{30}π$。