某种型号器件的寿命X(以h计)具有概率密度:-|||-f(x)= ^2),xgt 1000 0, .-|||-现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立),任取5只,问其中至少有2-|||-只寿命大于1500小时的概率是多少?

考查要点：本题综合考查概率密度函数的积分求概率和二项分布的应用。
解题思路：

1. 确定单个器件寿命超过1500小时的概率：通过积分概率密度函数计算。
2. 建立二项分布模型：将5只器件的寿命情况视为独立重复试验，利用二项分布公式计算至少2只寿命超过1500小时的概率。
   关键点：

• 积分计算概率时注意上下限和原函数的推导。
• 二项分布公式的应用，特别是“至少”问题需用补集思想简化计算。

步骤1：计算单个器件寿命超过1500小时的概率$p$

根据概率密度函数$f(x)=\dfrac{1000}{x^2}$（$x>1000$），概率为：
$p = \int_{1500}^{\infty} \dfrac{1000}{x^2} \, dx = \left[ -\dfrac{1000}{x} \right]_{1500}^{\infty} = 0 - \left( -\dfrac{1000}{1500} \right) = \dfrac{2}{3}.$

步骤2：建立二项分布模型

设5只器件中寿命超过1500小时的只数为$X$，则$X \sim B\left(5, \dfrac{2}{3}\right)$。
要求$P(X \geq 2)$，利用补集公式：
$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1).$

步骤3：计算各概率值

1. $P(X=0)$：
   $P(X=0) = \dbinom{5}{0} \left( \dfrac{2}{3} \right)^0 \left( 1 - \dfrac{2}{3} \right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \left( \dfrac{1}{3} \right)^5 = \dfrac{1}{243}.$

2. $P(X=1)$：
   $P(X=1) = \dbinom{5}{1} \left( \dfrac{2}{3} \right)^1 \left( \dfrac{1}{3} \right)^4 = 5 \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{81} = \dfrac{10}{243}.$

步骤4：综合结果

$P(X \geq 2) = 1 - \dfrac{1}{243} - \dfrac{10}{243} = \dfrac{232}{243}.$