题目
10.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩r(A^T)=____
10.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩$r(A^{T})$=____
题目解答
答案
已知 $3 \times 4$ 矩阵 $A$ 的行向量组线性无关，即行秩为 3。由于矩阵的秩等于其行秩，故 $\text{秩}(A) = 3$。又因为矩阵的秩等于其转置矩阵的秩，即 $\text{秩}(A^T) = \text{秩}(A)$，因此 $\text{秩}(A^T) = 3$。
答案：$\boxed{3}$
解析
本题主要考察矩阵的秩与行向量组、列向量组的关系，以及转置矩阵的秩的性质。
关键知识点：
- 矩阵的行秩与列秩相等：矩阵的秩等于其行向量组的秩（行秩），也等于其列向量组的秩（列秩）。
- 转置矩阵的秩不变：对于任意矩阵$A$，$r(A^T)=r(A)$。
解题步骤：
-
步骤1：确定矩阵$A$的行秩
题目已知$A$是$3 \times 4$矩阵（3行4列），且行向量组线性无关。线性无关的向量组的秩等于其向量个数，因此$A$的行秩为3。 -
步骤2：确定矩阵$A$的秩
根据“矩阵的秩等于行秩”，可得$r(A)=3$。 -
步骤3：确定$A^T$的秩
由“转置矩阵的秩不变”，$r(A^T)=r(A)=3$。